Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Seqüències i patronsSeqüències especials

Temps de lectura: ~45 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

A més de les seqüències aritmètiques i geomètriques , els nombres de Fibonacci i els nombres figurats , hi ha infinitat de seqüències interessants que no segueixen un patró regular i similar.

Nombres primers

Un exemple que ja heu vist anteriorment són els números primers . Diem que un nombre és primer si no té factors .

Aquests són els primers números primers:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , , , ,…

Malauradament, els nombres primers no segueixen un patró simple ni una fórmula recursiva. De vegades apareixen directament l’un al costat de l’altre (es diuen primes bessones ) i, de vegades, hi ha grans llacunes entre elles. Sembla que es distribueixen gairebé de forma aleatòria!

Els nombres primers tampoc tenen una representació geomètrica simple com un número triangle o quadrat , però amb una mica de treball podem revelar patrons interessants:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Si superem tots els múltiples de petits nombres enters, els nombres restants han de ser primers. Aquest mètode s’anomena tamís d’Eratòstenes .

Si dibuixem un gràfic que augmenta un 1 cada vegada que hi ha un nombre primer, obtenim una funció "esglaonada" amb propietats fascinants.

Podeu obtenir més informació sobre aquestes i altres propietats dels nombres primers del nostre curs sobre Divisibilitat i Primes . Són alguns dels conceptes més importants i misteriosos de les matemàtiques.

Nombres perfectes

Per determinar si un nombre és primer , hem de trobar tots els seus factors . Normalment multiplicaríem aquests factors per obtenir el número original, però vegem què succeeix si sumem tots els factors d’un nombre (excepte el número en si):

NumberFactorsSum of Factors
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
1
8
1
2
4
7
9
1
3
4
10
1
2
5
11
1
12
1
2
3
4
6
13
1
14
1
2
7
15
1
3
5
16
1
2
4
8
17
1
18
1
2
3
6
9

Comparem aquests nombres amb la seva suma de factors:

Per a la majoria dels nombres, la suma dels seus factors és si mateix. Aquests nombres s’anomenen números deficients .

Per uns quants números, la suma dels seus factors és més gran que ella mateixa. Aquests números s’anomenen nombres abundants .

Només un número de la llista anterior té una suma de factors que és igual a si mateix: . Això es diu un nombre perfecte .

El següent número perfecte és 28, perquè si sumem tots els seus factors, obtindrem 1+2+4+7+14=28 . Després d'això, els nombres perfectes són molt més rars:

6 , 28 , 496 , 8.128 , 33.550.336 , 8.559.869.056 , 137.438.691.328 , 2.305.843.008.139.952.128 , ...

Observeu que tots aquests nombres són . Resulta que també són nombres de triangles!

Els números perfectes van ser estudiats per matemàtics grecs antics com Euclides , Pitàgores i Nicòmac , fa més de 2000 anys. Van calcular els primers nombres perfectes i es van preguntar si n’hi podria haver algun .

Avui, els matemàtics han utilitzat ordinadors per comprovar els primers 10 1500 números (és a dir un 1 seguit per 1500 zeros), però sense èxit: tots els números perfectes que van trobar eren parells. A dia d’avui, encara no se sap si hi ha algun nombre perfecte i estrany, convertint-lo en el problema més antic que no s’ha resolt en totes les matemàtiques .

Euclides d’Alexandria

La seqüència de la pedregada

La majoria de les seqüències que hem vist fins ara tenien una sola regla o patró. Però no hi ha cap raó per la qual no podem combinar-ne diverses, com ara una fórmula recursiva com aquesta:

If xn is even:xn+1=xn/2
If xn is odd:xn+1=3xn+1

Comencem x1=5 i veure què passa:

5 , × 3 +1 , ÷ 2 , ÷ 2 , ÷ 2 , ÷ 2 , × 3 +1 , ÷ 2 , ÷ 2 , ...

Sembla que després d’uns quants termes, la seqüència arriba a un “cicle”: 4, 2, 1 continuaran repetint-se una i altra vegada per sempre.

Per descomptat, podríem haver escollit un punt de partida diferent, com ${n} . Aleshores, la seqüència quedaria així:

, _{.n} 4 , 2 , 1 ,_ _{.n} 4 , 2 , 1 ,_ _{.n} 4 , 2 , 1 ,…_

Sembla que la longitud de la seqüència varia molt, però sempre acabarà en un cicle de 4, 2, 1, sense importar el primer número que triem. Fins i tot podem visualitzar els termes de la seqüència en un gràfic:

Start value:${n}

Observeu com alguns punts de partida acaben molt ràpidament, mentre que d’altres (com o ) fer més d’un centenar de passos abans d’arribar al 4, 2, 1 cicle.

Totes les seqüències que segueixen aquesta fórmula recursiva s’anomenen Hailstone Sequences , perquè semblen moure’s de forma aleatòria amunt i avall abans d’arribar al cicle 4, 2, 1, igual que les pedres de grana que es desplacen amunt i avall en un núvol abans d’estavellar-se a la Terra.

El 1937, el matemàtic Lothar Collatz va proposar que cada seqüència de pedra de calamars acabés amb un cicle de 4, 2, 1, qualsevol valor inicial que trieu. Ja heu comprovat uns quants punts d’inici més amunt i els ordinadors han provat tots els números fins a arribar 1020 - això és 100.000 milions de milions o un 1 seguit de vint zeros.

Tot i això, hi ha infinitat de nombres enters. És impossible comprovar cadascun d’ells i ningú ha estat capaç de trobar una prova que funcioni per a tots.

Igual que la recerca de nombres perfectes estranys, encara és un problema obert de les matemàtiques. És sorprenent que aquests senzills patrons de seqüències puguin donar lloc a preguntes que han mistificat fins i tot els millors matemàtics del món durant segles!

La seqüència de mirades i dites

Aquí teniu una seqüència més diferent de totes les que heu vist anteriorment. Podeu trobar el patró?

1 , 11 , 21 , 1211 , 111221 , 312211 ,…

Aquesta seqüència s’anomena seqüència Look-and-Say , i el patró és exactament el que diu el nom: comenceu amb un 1 i cada terme següent és el que obteniu si “llegeu en veu alta” l’anterior. Aquí teniu un exemple:

Ara podeu trobar els propers termes?

..., 312211 , , , ...

Aquesta seqüència s'utilitza sovint com a trencaclosques per desencadenar matemàtics, perquè el patró sembla completament no matemàtic. No obstant això, segons resulta, la seqüència té moltes propietats interessants. Per exemple, tots els termes acaben en i no s’utilitza cap dígit superior a .

El matemàtic britànic John Conway va descobrir que, independentment del nombre que trieu com a valor inicial, la seqüència es dividirà en diferents "seccions" que ja no interaccionen entre elles. Conway va anomenar aquest teorema cosmològic i va nomenar les diferents seccions que utilitzaven els elements químics Hidrogen , Heli , Liti , ..., fins a Plutoni .

El Test de seqüències

Ara heu vist infinitat de seqüències matemàtiques diferents: algunes basades en formes geomètriques, algunes que segueixen fórmules específiques i altres que semblen comportar-se gairebé de forma aleatòria.

En aquest qüestionari podeu combinar tots els vostres coneixements sobre seqüències. Només hi ha un objectiu: trobar el patró i calcular els dos termes següents.

Cerqueu el número següent

7 , 11 , 15 , 19 , 23 , 27 , , ,… Patró: Sempre +4

11 , 14 , 18 , 23 , 29 , 36 , , ,… Patró: +3, +4, +5, +6, ...

3 , 7 , 6 , 10 , 9 , 13 , , ,… Patró: +4, –1, +4, –1,…

2 , 4 , 6 , 12 , 14 , 28 , , ,… Patró: × 2, +2, × 2, +2, ...

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , , ,… Patró: Nombres de Fibonacci

27 , 28 , 30 , 15 , 16 , 18 , , ,… Patró: +1, +2, ÷ 2, +1, +2, ÷ 2, ...

1 , 9 , 25 , 49 , 81 , 121 , , ,… Patró: Nombres quadrats imparells

Archie