Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Seqüències i patronsTriangle de Pascal

Temps de lectura: ~25 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

A continuació, es pot veure una piràmide de números que es crea mitjançant un patró simple: comença amb una sola "1" a la part superior, i cada cel·la següent és la suma de les dues cel·les directament a sobre. Passa el ratolí sobre algunes de les cel·les per veure com es calculen i, a continuació, empleneu les que falten:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1

Aquest diagrama només mostrava les dotze primeres files, però podríem continuar per sempre, afegint noves files a la part inferior. Observeu que el triangle és , que us pot ajudar a calcular algunes de les cèl·lules.

El triangle es diu triangle de Pascal , rebut el nom del matemàtic francès Blaise Pascal . Va ser un dels primers matemàtics europeus a investigar els seus patrons i propietats, però va ser conegut per altres civilitzacions molts segles abans:

El 450 aC, el matemàtic indi Pingala va anomenar el triangle la "Escala del Mont Meru" , batejada amb el nom d'una sagrada muntanya hindú.

A l'Iran, era conegut com el "triangle de Khayyam" (مثلث خیام), amb el nom del poeta i matemàtic persa Omar Khayyám .

A la Xina, el matemàtic Jia Xian també va descobrir el triangle. Va rebre el nom del seu successor, "El triangle de Yang Hui" (杨辉 三角).

El triangle de Pascal es pot crear utilitzant un patró molt senzill, però està farcit de patrons i propietats sorprenents. Per això ha fascinat matemàtics a tot el món durant centenars d’anys.

Trobar seqüències

A les seccions anteriors, heu vist infinitat de seqüències matemàtiques diferents. Resulta que moltes d’elles també es poden trobar al triangle de Pascal:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1

####{.btn.yellow}

Els números de la primera diagonal a banda i banda són tots .

####{.btn.orange}

Els nombres de la segona diagonal a banda i banda són els .

####{.btn.red}

Els números de la tercera diagonal a banda i banda són els del .

####{.btn.purple}

Els nombres de la quarta diagonal són els .

####{.btn.blue}

Si sumem tots els números seguits, les seves sumes formen una altra seqüència: les .

####{.btn.teal}

A cada fila que tingui un nombre prim a la seva segona cel·la, tots els números següents són d’aquest primer.

####{.btn.green}

El diagrama de dalt destaca les diagonals "poc profundes" de diferents colors. Si sumem els nombres a cada diagonal, obtenim els .

Per descomptat, cadascun d’aquests patrons té una raó matemàtica que explica per què apareix. Potser en trobeu alguns!

Una altra pregunta que us podeu fer és la freqüència amb què apareix un número al triangle de Pascal. És evident que hi ha infinites moltes un, un 2 i tots els altres apareixen , a la segona diagonal a banda i banda.

Alguns números al mig del triangle també apareixen tres o quatre vegades. Fins i tot n’hi ha algunes que apareixen sis vegades: es poden veure tant 120 com 3003 quatre vegades al triangle de dalt i apareixeran dues vegades més cadascuna a les files 120 i 3003.

Com que 3003 és un número de triangle, en realitat apareix dues vegades més a les terceres diagonals del triangle, fet que fa vuit ocurrències en total.

No se sap si hi ha altres números que apareixen vuit vegades al triangle o si hi ha números que apareixen més de vuit vegades. El matemàtic nord-americà David Singmaster va plantejar la hipòtesi que hi ha un límit fix en la freqüència amb què es poden aparèixer nombres al triangle de Pascal, però encara no s'ha demostrat.

Divisibilitat

Alguns patrons del triangle de Pascal no són tan fàcils de detectar. Al diagrama següent, ressalteu totes les cel·les parelles:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1

Sembla que el nombre parell del triangle de Pascal forma un altre més petit .

Pintar cada cel·la manualment triga molt, però aquí podeu veure què passa si ho faríeu durant moltes més files. I què passa amb les cel·les divisibles per altres nombres?

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1

Uau! Les cel·les de colors sempre apareixen en (excepte algunes cel·les simples, que es podrien veure com a triangles de mida 1).

Si continuem el patró de cèl·lules divisibles per 2, obtenim una que és molt semblant al triangle de Sierpinski a la dreta. Formes com aquesta, que consisteixen en un patró senzill que sembla continuar per sempre mentre es fan cada cop més petits, s’anomenen fractals . En el futur en sabreu més ...

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Coeficients binomials

De la qual hem de parlar una propietat més important del triangle de Pascal. Per entendre-ho, intentarem resoldre el mateix problema amb dos mètodes completament diferents i, a continuació, veurem com es relacionen.

PRÒXIMAMENT