Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Seqüències i patronsIntroducció

Temps de lectura: ~30 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

Moltes professions que utilitzen matemàtiques estan interessades en un aspecte concret: trobar patrons i ser capaços de predir el futur. Aquests són alguns exemples:

En l'última dècada, els departaments de policia de tot el món han començat a confiar més en les matemàtiques. Algoritmes especials poden utilitzar les dades de delictes passats per predir quan i on es poden produir delictes en el futur. Per exemple, el sistema PredPol (curt per “policia predictiu”), va ajudar a disminuir la taxa de criminalitat a algunes parts de Los Angeles un 12%!

Resulta que els terratrèmols segueixen patrons similars als delictes. De la mateixa manera que un delicte podria desencadenar represàlies, un terratrèmol podria provocar rèpliques. En matemàtiques, això es diu un "procés auto-excitant", i hi ha equacions que ajuden a predir quan pot passar el següent.

Els banquers també consulten dades històriques dels preus de les accions, dels tipus d’interès i dels tipus de canvi de moneda per estimar com podrien canviar els mercats financers en el futur. Poder predir si el valor d'una acció pujarà o baixarà pot ser molt lucratiu.

Els matemàtics professionals utilitzen algoritmes altament complexos per trobar i analitzar tots aquests patrons, però començarem amb una mica més bàsic.

Seqüències simples

En matemàtiques, una seqüència és una cadena de nombres (o altres objectes) que solen seguir un patró particular. Els elements individuals d'una seqüència s'anomenen termes .

A continuació, es mostren alguns exemples de seqüències. Podeu trobar els seus patrons i calcular els dos termes següents?

3 , 6 +3_ , 9 , 12 , 15 , ,… _{span.pattern.reveal(data-when="blank-0 blank-1")} Patró: "Afegeix 3 al número anterior per obtenir el següent."

4 , 10 , 16 , 22 , 28 , , , ... _{span.pattern.reveal(data-when="blank-2 blank-3")} Patró: "Afegiu 6 al número anterior per obtenir el següent."

3 , 4 , 7 , 8 , 11 , , ,… _{span.pattern.reveal(data-when="blank-4 blank-5")} Patró: "Afegiu alternativament 1 i afegiu-ne 3 al número anterior, per obtenir el següent."

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , , , ... _{span.pattern.reveal(data-when="blank-6 blank-7")} Patró: “Multiplica el número anterior per 2, per obtenir el següent”.

Els punts (...) al final volen dir simplement que la seqüència pot continuar per sempre. Quan ens referim a seqüències com aquesta en matemàtiques, sovint representem tots els termes per una variable especial:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

El nombre petit després de la x s'anomena subíndex i indica la posició del terme a la seqüència. Això vol dir que podem representar el n-èsim terme de la seqüència de .

Nombres del triangle i quadrat

Les seqüències en matemàtiques no sempre han de ser números. Aquí hi ha una seqüència que consta de formes geomètriques - triangles de mida creixent:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

A cada pas, afegim una fila més al triangle anterior. La longitud d’aquestes noves files també augmenta una cada vegada. Pots veure el patró?

1 , 3 +2 , 6 +3 , 10 +4 , 15 +5 , 21 +6 +7 , +8 ,…

També podem descriure aquest patró mitjançant una fórmula especial:

xn = xn1 + n

Per obtenir el nombre de triangle n -ésimo, prenem número de triangle i afegiu n . Per exemple, si n = ${n} , la fórmula es converteix x${n} = x${n-1} + ${n} .

Una fórmula que expressa xn com a funció de termes anteriors de la seqüència s'anomena fórmula recursiva . Sempre que coneguis el de la seqüència, podeu calcular tots els següents.


Una altra seqüència que consta de formes geomètriques són els nombres quadrats . Cada terme està format per quadrats cada vegada més grans:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

Per als nombres del triangle hem trobat una fórmula recursiva que us indica el següent terme de la seqüència en funció dels seus termes anteriors . Per als nombres quadrats que podem fer encara millor: una fórmula que li indica l'enèsim terme directament, sense haver de calcular tots els anteriors:

xn =

D’aquesta forma s’anomena fórmula explícita . Podem utilitzar-ho, per exemple, per calcular que el 13è número quadrat és , sense abans trobar els 12 números quadrats anteriors.


Resumim totes les definicions que hem vist fins ara:

Una seqüència és una llista de números, formes geomètriques o altres objectes, que segueixen un patró específic. Els ítems individuals de la seqüència s’anomenen termes i estan representats per variables com xn .

Una fórmula recursiva per una seqüència li indica el valor de l'enèsima termini com una funció dels . També heu d’especificar el primer terme.

Una fórmula explícita per a una seqüència indica el valor de l'enèsim terme com una funció de , sense fer referència a altres termes de la seqüència.

Fotografia de seqüències d'acció

A les següents seccions, coneixereu moltes seqüències matemàtiques diferents, patrons sorprenents i aplicacions inesperades.

Primer, però, vegem alguna cosa completament diferent: la fotografia de seqüències d’acció . Un fotògraf pren moltes fotos de forma ràpida i, després, les fusiona en una sola imatge:

Es pot veure com l’esquiador forma una seqüència? El patró no és addició ni multiplicació, sinó una transformació geomètrica. Entre passos consecutius, l'esquiador es tradueix i .

A continuació, es mostren alguns exemples més de fotografia de seqüència d’acció per al seu gaudi: