Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Seqüències i patronsNombres figurats

Temps de lectura: ~20 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

El nom de seqüències geomètriques és força confús, perquè no tenen res a veure amb la geometria. De fet, el nom es va desenvolupar fa centenars d’anys, quan els matemàtics van pensar en la multiplicació i l’ arrelament quadrat d’una manera molt més geomètrica.

No obstant això, hi ha moltes altres seqüències que es basen en certes formes geomètriques - algunes de les quals ja vam veure en la introducció. Aquestes seqüències s’anomenen sovint nombres figurats i, en aquest apartat, podrem veure amb detall algunes d’elles.

Nombres del triangle

Els nombres del triangle es generen creant triangles de mida progressivament més gran:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Ja heu vist la fórmula recursiva dels números de triangles: xn= .

No és casual que sempre hi hagi 10 pins quan es fan bitlles o 15 pilotes quan jugueu al billar: tots dos són números de triangle!

Malauradament, la fórmula recursiva no és de gran ajuda si volem trobar el número del triangle número 100 o 5000, sense calcular primer tots els anteriors. Però, com vam fer amb les seqüències aritmètiques i geomètriques, podem intentar trobar una fórmula explícita per als nombres del triangle.

COM VEURE: Prova animada de la fórmula del número del triangle

Els números del triangle semblen aparèixer arreu de les matemàtiques i els veureu de nou al llarg d'aquest curs. Un fet especialment interessant és que qualsevol nombre complet es pot escriure com la suma de com a màxim tres números de triangles:

${n}

=

+

+

El fet que això funcionés per a tots els nombres sencers va ser demostrat per primera vegada el 1796 pel matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss - als 19 anys!

Solucionar problemes

Quina és la suma dels primers 100 nombres enters positius? En altres paraules, quin és el valor de

1+2+3+4+5++97+98+99+100 ?

En lloc de afegir-hi tot manualment, podeu utilitzar els números del triangle per ajudar-vos? Què passa amb la suma dels primers 1000 nombres enters positius?

Nombres quadrats i poligonals

Una altra seqüència que es basa en formes geomètriques són els nombres quadrats :

1 , 4 +3 , 9 +5 , 16 +7 , +9 , +11 , +13 , +15 , ...

Podeu calcular els nombres d’aquesta seqüència mitjançant el nombre de quadrats ( 12 , 22 , 32 , ...), però resulta que hi ha un altre patró: les diferències entre números quadrats consecutius són els en ordre creixent!

La raó d'aquest patró es fa evident si realment dibuixem un quadrat. Cada pas afegeix una fila i una columna. La mida d’aquests “cantons” comença a l’1 i augmenta un 2 a cada pas, formant així la seqüència de nombres imparells.

Això també vol dir que l'enèsim nombre quadrat és simplement la suma dels n primers nombres senars! Per exemple, la suma dels primers 6 nombres imparells és

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

A més, cada nombre quadrat també és la suma de dos nombres triangulars consecutius. Per exemple, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2} . Podeu veure com podem dividir cada quadrat al llarg de la seva diagonal, en dos triangles?

x=

Després de nombres de triangles i quadrats, podem seguir endavant amb polígons més grans. Les seqüències de nombres resultants s’anomenen nombres poligonals .

Per exemple, si utilitzem polígons amb ${k} costats, obtenim la seqüència de ${polygonName(k)} números .

Pot trobar fórmules recursives i explícites per l'enèsim nombre poligonal que té k costats? I detecteu algun patró interessant per a polígons més grans?

Nombres tetraèdrics i cúbics

Per descomptat, tampoc ens hem de limitar a formes i patrons bidimensionals. Podríem apilar esferes per formar petites piràmides, de la mateixa manera que s’apilen taronges en un supermercat:

1

20

35

Els matemàtics solen anomenar aquests tetraedres de les piràmides i els números tetraèdrics de la seqüència resultant.

COM VENIR: Més informació sobre els números tetraèdrics, els números cúbics i els 12 dies de Nadal.

Archie