Seqüències i patronsNombres figurats
El nom de
No obstant això, hi ha moltes altres seqüències que es basen en certes formes geomètriques - algunes de les quals ja vam veure en la introducció. Aquestes seqüències s’anomenen sovint
Nombres del triangle
Els nombres del triangle es generen creant triangles de mida progressivament més gran:
1
3
6
10
15
21
Ja heu vist la fórmula recursiva dels números de triangles:
No és casual que sempre hi hagi 10 pins quan es fan bitlles o 15 pilotes quan jugueu al billar: tots dos són números de triangle!
Malauradament, la fórmula recursiva no és de gran ajuda si volem trobar el número del triangle número 100 o 5000, sense calcular primer tots els anteriors. Però, com vam fer amb les seqüències aritmètiques i geomètriques, podem intentar trobar una fórmula explícita per als nombres del triangle.
COM VEURE: Prova animada de la fórmula del número del triangle
Els números del triangle semblen aparèixer arreu de les matemàtiques i els veureu de nou al llarg d'aquest curs. Un fet especialment interessant és que qualsevol nombre complet es pot escriure com la suma de com a màxim tres números de triangles:
=
+
+
El fet que això funcionés per a tots els nombres sencers va ser demostrat per primera vegada el 1796 pel matemàtic alemany
Solucionar problemes
Quina és la suma dels primers 100
En lloc de afegir-hi tot manualment, podeu utilitzar els
Nombres quadrats i poligonals
Una altra seqüència que es basa en formes geomètriques són els nombres quadrats :
1 , 4 +3 , 9 +5 , 16 +7 ,
Podeu calcular els nombres d’aquesta seqüència mitjançant el nombre de quadrats (
La raó d'aquest patró es fa evident si realment dibuixem un quadrat. Cada pas afegeix una fila i una columna. La mida d’aquests “cantons” comença a l’1 i augmenta un 2 a cada pas, formant així la seqüència de nombres imparells.
Això també vol dir que l'enèsim nombre quadrat és simplement la suma dels n primers nombres senars! Per exemple, la suma dels primers 6 nombres imparells és
A més, cada nombre quadrat també és la suma de dos
Després de nombres de triangles i quadrats, podem seguir endavant amb
Per exemple, si utilitzem polígons amb
Pot trobar fórmules recursives i explícites per l'enèsim nombre poligonal que té k costats? I detecteu algun patró interessant per a polígons més grans?
Nombres tetraèdrics i cúbics
Per descomptat, tampoc ens hem de limitar a formes i patrons bidimensionals. Podríem apilar esferes per formar petites piràmides, de la mateixa manera que s’apilen taronges en un supermercat:
1
20
35
Els matemàtics solen anomenar aquests
COM VENIR: Més informació sobre els números tetraèdrics, els números cúbics i els 12 dies de Nadal.