Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Seqüències i patronsNombres de Fibonacci

Temps de lectura: ~50 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

Imagineu-vos que heu rebut un parell de conills, un mascle i una femella. Són conills molt especials, perquè no moren mai, i la femella dóna a llum una nova parella de conills exactament un cop al mes (sempre una altra parella de mascles i femelles).

1
1
2
3
5
8
In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.
After one month, the rabbits are grown up and can start mating…
… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.
In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.
In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.
In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

Al mes següent, tindríeu 13 parells de conills: els 8 del mes anterior, més 5 nous jocs de nadons. Podeu detectar un patró en aquesta seqüència?

El nombre de conills en un determinat mes és . Dit d'una altra manera, heu d'afegir els _dos termes anteriors a la seqüència, per obtenir el següent. La seqüència comença amb dos 1s, i la fórmula recursiva és_

xn = xn1 + xn2

Podeu calcular el nombre de conills al cap d’uns mesos més?

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , , , , , , ,…

Així, al cap de 12 mesos, tindreu 144 parells de conills.

Aquesta seqüència de nombres s’anomena Seqüència de Fibonacci , batejada amb el nom del matemàtic italià Leonardo Fibonacci .

Quan Fibonacci va néixer el 1175, la majoria d’Europa encara utilitzava el sistema de numeració romana per a nombres (com IVX o MCMLIV). El pare de Fibonacci era comerciant, i junts van viatjar al nord d’Àfrica, així com al Pròxim Orient. Va ser allà on Fibonacci va aprendre per primera vegada el sistema de numeraris àrabs .

Quan va tornar a Itàlia, Fibonacci va escriure un llibre anomenat Liber Abaci (llatí per a "El llibre dels càlculs"), on va introduir els nous números àrabs als comerciants europeus. Van ser un èxit immediat, i encara avui en fem servir.

Portrait of Leonardo Fibonacci

En una de les pàgines del seu llibre també va investigar els patrons de cria dels conills, és per això que els nombres de Fibonacci van rebre el seu nom.

Pages from Fibonacci’s Liber Abaci

Per descomptat, els nombres de Fibonacci no són en realitat la forma en conills poblen en la vida real. Els conills no tenen exactament un fill masculí i una femella cada mes, i finalment no hem explicat que els conills van morir.

Però resulta que hi ha molts altres llocs a la natura, on apareixen els nombres de Fibonacci: per exemple, les espirals en les plantes. Es pot comptar quantes espirals hi ha en cada direcció?

Original
Clockwise
Countercw.

Aquest con de pi té espirals en sentit horari i sentit antihorari.

Original
Clockwise
Countercw.

Aquest gira-sol té 34 espirals en sentit horari i 55 espirals en sentit antihorari.

En ambdós casos, els nombres d’espirals són números de Fibonacci consecutius. El mateix passa per a moltes altres plantes: la propera vegada que sortiu a l’exterior, compteu el nombre de pètals d’una flor o el nombre de fulles d’una tija. Molt sovint comproveu que són números de Fibonacci.

Per descomptat, no és només una coincidència. Hi ha una raó important per la qual la natura li agrada la seqüència de Fibonacci, de la qual podreu conèixer més endavant.

Male
Female

Els nombres de fibonacci també apareixen a les poblacions d’abelles.

A cada colònia d’abelles hi ha una única reina que posa molts ous. Si un ou fecundat per un òvul fecundat, aquest eclosiona a una abella femella . Si no està fecundada, eclosiona a una abella masculina (anomenada drone).

Això vol dir que les abelles femelles tenen , mentre que les abelles masculines només tenen

Si dibuixem l’arbre ancestral d’una abella, el nombre de pares, avis, besavis i de les generacions anteriors són sempre nombres de Fibonacci.

De vegades, les abelles femelles joves són alimentades amb menjar especial anomenat “gelea reial”. En aquest cas, es converteixen en reines i volaran per començar un nou rusc.

La ratio d’or

Igual que els números del triangle i quadrat i altres seqüències que hem vist abans, es pot visualitzar la seqüència de Fibonacci mitjançant un patró geomètric:

1 1 2 3 5 8 13 21
We start with two small squares of size 1.
Next, we add a new square of size 2, to form a larger rectangle.
Next, we add a square of size 3, to form an even larger rectangle.
The next square has size 5. Can you see that we’re recreating the Fibonacci numbers?
If we continue adding squares, they will have size 8, 13, 21, and so on.
You might have noticed that, as the rectangles get larger, they seem to start “spiraling” outwards. We can even visualise this by drawing a perfect spiral that connects the corners of the squares.

A cada pas, els quadrats formen un rectangle més gran. La seva amplada i alçada són sempre dos números consecutius de Fibonacci. La relació d' aspecte del rectangle és la relació entre l'amplada i l'altura:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1,5

golden-3

53 = 1.666 ...

golden-4

85 = 1,6

golden-5

= 1.625

golden-6

= 1,62 ...

Observeu com, a mesura que afegim cada cop més quadrats, la relació d’aspecte sembla apropar-se i apropar-se a un nombre específic al voltant d’1,6. Aquest nombre s'anomena proporció daurada i sol representar-se amb la lletra grega φ (“Phi”). El seu valor exacte és

1+52=1.61803398875

Moltes persones creuen que la proporció daurada és particularment agradable estèticament. És per això que sovint s’utilitzen artistes i arquitectes, com en aquests dos exemples:

Es diu que l'escultor grec Phidias havia utilitzat la proporció daurada a l'hora de dissenyar el Partenó d'Atenes. La primera lletra del seu nom, φ , és el símbol que fem servir ara per a la proporció daurada.

El sagrament de l’última cena , de l’artista espanyol Salvador Dalí, és un dels molts quadres amb la proporció daurada. Al fons, també es pot veure un gran dodecaedre .

Podem aproximar la proporció daurada dos nombres consecutius de Fibonacci.

Tanmateix, resulta que el valor exacte de φ no es pot escriure com una fracció senzilla: és un nombre irracional , de la mateixa manera π i 2 i alguns altres números que heu vist abans.

Espirals de Fibonacci

La proporció daurada explica per què apareixen a la natura els números de Fibonacci, com el con de gira-sol i pi que vau veure al començament d'aquesta secció.

Ambdues plantes creixen cap a fora del seu centre (una part de la planta anomenada meristema ). A mesura que s’afegeixen noves llavors, fulles o pètals, empenyen els existents més cap a fora.

Desplaceu el control lliscant cap a la dreta per visualitzar com creix una planta. Observeu com s’afegeix cada full a una rotació diferent de l’anterior. L’angle entre dues fulles consecutives és sempre el mateix.

És important que les flors trien un angle adequat: les fulles o les llavors han d’estar aproximadament iguals d’espai per obtenir la major quantitat de llum i nutrients. Al diagrama següent, podeu explorar com podria semblar un gira-sol amb diferents angles entre les seves llavors:

Si l’angle és , totes les llavors creixeran en una sola fila llarga del centre.
Si l’angle és de rotació completa (180°), les llavors s’alternaran entre dos “braços” separats que s’allunyen del centre.
Per exemple, si la rotació és una altra proporció fraccionada de 360° o o , llavors el nombre de "braços" serà el mateix que el d'aquesta fracció.
Malauradament, els “braços” són dolents, perquè signifiquen que les llavors no es distribueixen de manera uniforme: es malgasta tot l’espai entre els braços. Però si els números racionals no funcionen, provem els números irracionals .
Un exemple de nombre irracional és π . Però si l’angle entre llavors és de 360°, encara sembla tenir armes: 22 d’ells. Això és així perquè la fracció 227=3.1429 és una aproximació força bona per a π . El que realment necessitem és un nombre irracional que no es pugui aproximar estretament amb una fracció senzilla.
Resulta que la proporció daurada és només això: la "més irracional" de tots els nombres irracionals. Si l’angle entre llavors és de 360°, semblen estar gairebé perfectament espaiades. I aquest és precisament l’angle que utilitzen les plantes de tot el món.

Potser recordeu des de dalt que les proporcions de nombres de Fibonacci consecutius s’acosten i s’aproximen més a la proporció daurada, i és per això que, si comptau el nombre d’espirals d’una planta, sovint trobareu un nombre de Fibonacci.

És important recordar que la natura no coneix els números de Fibonacci. La naturalesa tampoc no pot resoldre equacions per calcular la proporció daurada, però al llarg de milions d’anys, les plantes van tenir molt de temps per provar diferents angles i descobrir-ne la millor.

Les plantes i els animals sempre volen créixer de la manera més eficient, i és per això que la natura està plena de patrons regulars i matemàtics.

Fibonachos

Fins ara, només hem utilitzat l’equació recursiva per a nombres de Fibonacci. De fet, hi ha una equació explícita, però és molt més difícil trobar-la:

Fn=151+52n152n

També podríem intentar triar diferents punts de partida per als números de Fibonacci. Per exemple, si comencem amb 2, 1, ... en lloc d'1, 1, ... obtenim una seqüència anomenada números de Lucas .

Resulta que, siguin quins siguin els dos números inicials que trieu, les seqüències resultants comparteixen moltes propietats. Per exemple, les proporcions de termes consecutius sempre convergiran a la proporció daurada.

${a} , ${b} , ${a+b} , ${a+2×b} , ${2×a+3×b} , ${3×a+5×b} , ${5×a+8×b} , ${8×a+13×b} , ...

Hi ha molts altres trencaclosques, patrons i aplicacions relacionats amb números de Fibonacci. Aquests són alguns exemples que podeu provar a vosaltres mateixos:

Solucionar problemes

1. Divisibilitat de Fibonacci

(a) Quins nombres de Fibonacci són parells? Hi ha un patró on se situen al llarg de la seqüència? Pots explicar per què?

(b) Quins nombres de Fibonacci són divisibles per 3 (o divisibles per 4)? Què nota?


2. Sumes Fibonacci

Què passa si afegiu tres números consecutius de Fibonacci? Pots explicar per què?


3. Escales de Fibonacci

Al pujar les escales, puc fer passos senzills o fer un salt sobre dos esglaons alhora. Això vol dir que hi ha moltes possibilitats diferents sobre com puc pujar una escala. Per exemple, si hi ha 5 passos, tinc 8 opcions diferents:

Quantes opcions hi ha per a escala amb 6, 7 o 8 graons? Podeu detectar un patró? I com es relaciona això amb els números de Fibonacci?

© FoxTrot, by Bill Amend