Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Seqüències i patronsAritmètica i seqüències geomètriques

Temps de lectura: ~45 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

El 1682, l’astrònom Edmond Halley va observar un fenomen insòlit: un objecte blanc brillant amb una llarga cua que es movia pel cel nocturn. Es tractava d’un cometa , una petita roca gelada que vola per l’espai, tot deixant enrere un rastre de pols i gel.

Halley va recordar que altres astrònoms havien observat cometes similars molt abans: una el 1530 i una altra el 1606. Observeu que la bretxa entre dues observacions consecutives és la mateixa en els dos casos: anys.

Image of Halley’s Comet,
taken in 1986 on Easter Island

Halley va concloure que les tres observacions eren en realitat del mateix cometa, que ara es diu cometa de Halley . Està orbitant al voltant del sol i passa la Terra aproximadament cada 76 anys. També va predir quan el cometa seria visible a continuació:

1530 , 1606 +76 , 1682 +76 , 1758 +76 , +76 , +76 , +76 , ...

En realitat, l'interval de temps no sempre és exactament de 76 anys: pot variar un o dos anys, ja que l'òrbita del cometa és interrompuda per altres planetes. Avui sabem que el cometa Halley va ser observat per astrònoms antics fins al 240 aC!

Depictions of Halley’s comet throughout time: a Babylonian tablet (164 BC), a medival tapestry (1070s), a science magazine (1910) and a Soviet stamp (1986).

Un grup diferent de científics està investigant el comportament d'una pilota de tennis rebot. Van caure la pilota des d'una alçada de 10 metres i van mesurar la seva posició amb el pas del temps. Amb cada rebot, la pilota perd part de la seva alçada original:

Els científics van observar que la pilota perd el 20% de la seva alçada després de cada rebot. Dit d’una altra manera, l’alçada màxima de cada rebot és del 80% de l’anterior. Això els va permetre predir l'alçada de cada rebot següent:

10 , 8 × 0,8_ , × 0,8 , × 0,8 , 4.096 × 0,8 _{span.reveal} , 3.277 × 0,8_ _{span.reveal} , 2.621 × 0,8_ _{span.reveal} , 2.097 × 0,8_ _{span.reveal} , ...

Definicions

Si compareu aquests dos problemes, podríeu notar que hi ha moltes semblances: la seqüència del cometa de Halley té la mateixa entre termes consecutius, mentre que la seqüència de rebots de pilota de tennis té la mateixa entre termes consecutius.

Les seqüències d’aquestes propietats tenen un nom especial:

Una seqüència aritmètica té una constant diferència d entre termes consecutius.

S’afegeix o es resta el mateix nombre a tots els termes, per produir-ne el següent.

Una seqüència geomètrica té una constant relació r entre termes consecutius.

Cada terme es multiplica o es divideix pel mateix nombre, per produir el següent.

A continuació, es detallen algunes seqüències diferents. Podeu determinar quines són aritmètiques, geomètriques o cap dels dos i quins són els valors de d i r són?

2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ,…

és , amb la proporció .

2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,…

és , amb la diferència .

17 , 13 , 9 , 5 , 1 , –3 ,…

és , amb diferència .

2 , 4 , 7 , 11 , 16 , 22 ,…

és .

40 , 20 , 10 , 5 , 2.5 , 1,25 ,…

és , amb la proporció .

Per definir una seqüència aritmètica o geomètrica, hem de conèixer no només la diferència o relació comuna, sinó també el valor inicial (anomenat a ). Aquí podeu generar les vostres pròpies seqüències i traçar els seus valors en un gràfic, canviant els valors de a , d i r . Podeu trobar algun patró?

####{.m-red} Seqüència aritmètica

a = ${a} , d = ${d}


${arithmetic(a,d,0)} , ${arithmetic(a,d,1)} , ${arithmetic(a,d,2)} , ${arithmetic(a,d,3)} , ${arithmetic(a,d,4)} , ${arithmetic(a,d,5)} , ...

####{.m-green} Seqüència geomètrica

a = ${b} , r = ${r}


${geometric(b,r,0)} , ${geometric(b,r,1)} , ${geometric(b,r,2)} , ${geometric(b,r,3)} , ${geometric(b,r,4)} , ${geometric(b,r,5)} , ...

Fixeu-vos com tot Les seqüències aritmètiques semblen molt similars: si la diferència és positiva, constantment i, si la diferència és negativa, constantment .

D'altra banda, les seqüències geomètriques poden comportar-se completament diferent segons els valors de a i r :

Si , els termes augmentaran , fins a l’infinit. Els matemàtics diuen que la seqüència divergeix .

Si , els termes sempre . Diem que la seqüència convergeix .

Si , els termes alternaran entre positius i negatius, mentre que el seu és més gran.

A l’ últim apartat d’aquest curs, coneixereu més informació sobre la convergència i la divergència.

Fórmules recursives i explícites

A la secció anterior, heu après que una fórmula recursiva us indica el valor de cada terme en funció dels termes anteriors. Aquestes són les fórmules recursives per a seqüències aritmètiques i geomètriques:

xn=

xn=

Un dels problemes de les fórmules recursives és que per trobar el centèsim terme, per exemple, primer hem de calcular els 99 termes anteriors, i això pot trigar molt. En canvi, podem mirar de trobar una fórmula explícita, que ens diu el valor de l'enèsima expressió directa.

Per seqüències aritmètiques , hem d’afegir d a cada pas:

x1=a

x2=a+d

x3=a+d+d

x4=

x5=

En l'enèsim terme, estem afegint còpies de d , de manera que la fórmula general és

xn=a+d×n1 .

Per seqüències geomètriques , hem de multiplicar r a cada pas:

x1=a

x2=a×r

x3=a×r×r

x4=

x5=

En l'enèsim terme, estem multiplicant còpies de r , de manera que la fórmula general és

xn=a×rn1 .

Aquí teniu un resum de totes les definicions i fórmules que heu vist fins ara:

Un la seqüència aritmètica té primer terme a i la diferència comuna d entre termes consecutius.

Fórmula recursiva : xn=xn1+d

Fórmula explícita : xn=a+d×n1

A la seqüència geomètrica té primer terme a i la proporció comuna r entre termes consecutius.

Fórmula recursiva : xn=xn1×r

Fórmula explícita : xn=a×rn1

Ara fem una ullada a alguns exemples en què podem fer servir tot això!

Pagar per avançat

Aquí teniu un breu clip de la pel·lícula Pay it Forward , on Trevor, de 12 anys, explica la seva idea per fer del món un lloc millor:

Extract from “Pay It Forward” (2000), © Warner Bros. Entertainment

L’essència de la idea de Trevor és que, si tothom “la paga endavant”, una sola persona pot tenir un impacte enorme en el món:

Observeu com el nombre de persones a cada pas forma una , amb proporció comuna :

1 , 3 × 3 , 9 × 3 , × 3 , × 3 , × 3 , ...

Utilitzant la fórmula explícita de seqüències geomètriques, podem esbrinar quantes persones noves es veuen afectades a qualsevol pas:

xn =

El nombre de persones augmenta increïblement ràpidament. En el desè pas, aconseguiríeu 19.683 nous i, després de 22 passos, hauríeu arribat a més persones de les que hi ha actualment vives a la Terra.

Aquesta seqüència de nombres té un nom especial: les potències de 3 . Com veieu, cada terme és realment un poder diferent de 3:

30 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , ...

Qui vol ser milionari?

PRÒXIMAMENT!

El problema del tauler d’escacs

PRÒXIMAMENT!