Seqüències i patronsAritmètica i seqüències geomètriques
El 1682, l’astrònom
Halley va recordar que altres astrònoms havien observat cometes similars molt abans: una el 1530 i una altra el 1606. Observeu que la bretxa entre dues observacions consecutives és la mateixa en els dos casos:
Image of Halley’s Comet,
taken in 1986 on Easter Island
Halley va concloure que les tres observacions eren en realitat del mateix cometa, que ara es diu cometa de Halley . Està orbitant al voltant del sol i passa la Terra aproximadament cada 76 anys. També va predir quan el cometa seria visible a continuació:
1530 , 1606 +76 , 1682 +76 , 1758 +76 ,
En realitat, l'interval de temps no sempre és exactament de 76 anys: pot variar un o dos anys, ja que l'òrbita del cometa és interrompuda per altres planetes. Avui sabem que el cometa Halley va ser observat per astrònoms antics fins al 240 aC!
Depictions of Halley’s comet throughout time: a Babylonian tablet (164 BC), a medival tapestry (1070s), a science magazine (1910) and a Soviet stamp (1986).
Un grup diferent de científics està investigant el comportament d'una pilota de tennis rebot. Van caure la pilota des d'una alçada de 10 metres i van mesurar la seva posició amb el pas del temps. Amb cada rebot, la pilota perd part de la seva alçada original:
Els científics van observar que la pilota perd el 20% de la seva alçada després de cada rebot. Dit d’una altra manera, l’alçada màxima de cada rebot és del 80% de l’anterior. Això els va permetre predir l'alçada de cada rebot següent:
10 , 8 × 0,8_ ,
Definicions
Si compareu aquests dos problemes, podríeu notar que hi ha moltes semblances: la seqüència del cometa de Halley té la mateixa
Les seqüències d’aquestes propietats tenen un nom especial:
Una
S’afegeix o es resta el mateix nombre a tots els termes, per produir-ne el següent.
Una
Cada terme es multiplica o es divideix pel mateix nombre, per produir el següent.
A continuació, es detallen algunes seqüències diferents. Podeu determinar quines són aritmètiques, geomètriques o cap dels dos i quins són els valors de d i r són?
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ,…
és
2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,…
és
17 , 13 , 9 , 5 , 1 , –3 ,…
és
2 , 4 , 7 , 11 , 16 , 22 ,…
40 , 20 , 10 , 5 , 2.5 , 1,25 ,…
és
Per definir una seqüència aritmètica o geomètrica, hem de conèixer no només la diferència o relació comuna, sinó també el valor inicial (anomenat
####{.m-red} Seqüència aritmètica
${arithmetic(a,d,0)} , ${arithmetic(a,d,1)} , ${arithmetic(a,d,2)} , ${arithmetic(a,d,3)} , ${arithmetic(a,d,4)} , ${arithmetic(a,d,5)} , ...
####{.m-green} Seqüència geomètrica
${geometric(b,r,0)} , ${geometric(b,r,1)} , ${geometric(b,r,2)} , ${geometric(b,r,3)} , ${geometric(b,r,4)} , ${geometric(b,r,5)} , ...
Fixeu-vos com tot Les seqüències aritmètiques semblen molt similars: si la diferència és positiva,
D'altra banda, les seqüències geomètriques poden comportar-se completament diferent segons els valors de
Si , els termes augmentaran
Si , els termes sempre
Si , els termes alternaran entre positius i negatius, mentre que el seu
A l’ últim apartat d’aquest curs, coneixereu més informació sobre la convergència i la divergència.
Fórmules recursives i explícites
A la secció anterior, heu après que una
Un dels problemes de les fórmules recursives és que per trobar el centèsim terme, per exemple, primer hem de calcular els 99 termes anteriors, i això pot trigar molt. En canvi, podem mirar de trobar una
Per seqüències aritmètiques , hem d’afegir d a cada pas:
En l'enèsim terme, estem afegint
Per seqüències geomètriques , hem de multiplicar r a cada pas:
En l'enèsim terme, estem multiplicant
Aquí teniu un resum de totes les definicions i fórmules que heu vist fins ara:
Un la seqüència aritmètica té primer terme
Fórmula recursiva :
Fórmula explícita :
A la seqüència geomètrica té primer terme
Fórmula recursiva :
Fórmula explícita :
Ara fem una ullada a alguns exemples en què podem fer servir tot això!
Pagar per avançat
Aquí teniu un breu clip de la pel·lícula Pay it Forward , on Trevor, de 12 anys, explica la seva idea per fer del món un lloc millor:
L’essència de la idea de Trevor és que, si tothom “la paga endavant”, una sola persona pot tenir un impacte enorme en el món:

Observeu com el nombre de persones a cada pas forma una
1 , 3 × 3 , 9 × 3 ,
Utilitzant la
El nombre de persones augmenta increïblement ràpidament. En el desè pas, aconseguiríeu 19.683 nous i, després de 22 passos, hauríeu arribat a més persones de les que hi ha actualment vives a la Terra.
Aquesta seqüència de nombres té un nom especial: les potències de 3 . Com veieu, cada terme és realment un
Qui vol ser milionari?
PRÒXIMAMENT!
El problema del tauler d’escacs
PRÒXIMAMENT!