Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

FractalsEl Conjunt Mandelbrot

Temps de lectura: ~35 min

Tots els fractals que vam veure als capítols anteriors es van crear mitjançant un procés d’ iteració : comenceu amb un patró específic, i després el repetiu una vegada i una altra.

Això és similar a un altre concepte en matemàtiques que vau veure abans: amb seqüències recursives , comenceu amb un número específic, i després apliqueu una vegada i una altra la mateixa fórmula recursiva, per obtenir el següent número de la seqüència.

Prenguem la fórmula recursiva xn=xn12 com a exemple, i representem els seus termes en una línia numèrica. Podeu canviar el valor de x0 :

Observeu com la seqüència resultant es pot comportar de manera molt diferent, segons el valor inicial x0 :

Si x0>1 , la seqüència es : només continua creixent fins a l’infinit.

Si x0 està entre –1 i 1, la seqüència .

Si x0<1 , la seqüència es .

Fins ara, no hem après res de nou. No obstant això, fa aproximadament un segle, els matemàtics van començar a explorar què passa amb aquestes seqüències si utilitzeu nombres complexos , en lloc de només la línia de números reals. Els seus descobriments van ser alguns dels resultats més sorprenents i bells de tota la matemàtica.

Julia Sets

Utilitzem la mateixa seqüència que abans, xn=xn12 , però en el pla complex. Podeu moure la posició de x0 , per veure què passa amb els termes següents. Si la seqüència sembla que convergirà, acolorim el punt corresponent al pla endins blau :

xn=xn12
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Converges!Diverges!

Com podeu veure, la seqüència convergeix sempre x0 es troba (el cercle amb el radi 1, centrat en l’origen).

Ara posem les coses una mica més difícils. En lloc de no quadrar el número anterior, també hi afegim una constant c cada vegada (que pot ser qualsevol nombre complex). En altres paraules, xn=xn12+c . Creus que encara obtindrem un cercle de convergència? Quines altres formes creus que podríem veure?

En aquest diagrama, podeu moure la posició de x0 així com el valor de c :

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!
Ja sabem què passa si - és el mateix que a l'exemple anterior. La convergència de seqüència sempre x0 es troba dins del cercle d’unitat.
Tan aviat com canviem el valor de c , passa una cosa meravellosa. El cercle es transforma en una forma fractal molt complexa.
Quan , la forma es divideix infinitament en elements diminuts disposats en espirals.

En alguns casos, la seqüència no convergeix a un sol punt , sinó que arriba a un cicle de diversos punts, com un triangle. Aquests cicles s’anomenen òrbites .

Els punts de color blau signifiquen que la seqüència corresponent o bé convergeix o té una òrbita (diem que està delimitada ). Els punts que es deixen blancs signifiquen que la seqüència corresponent es desvia : no es limita i, finalment, creix fins a l’infinit.

Què més podeu trobar? Mireu els patrons quan o quan . També hi ha alguns valors de c on totes les seqüències divergeixen, de manera que tot el pla complex roman en blanc.

Les diferents formes que es formen acolorint els nombres s’anomenen conjunts de Julia . Van ser descoberts de forma independent per dos matemàtics francesos, Gaston Julia i Pierre Fatou , cap al 1918.

Aleshores, no hi havia ordinadors que permetessin visualitzar el que semblaven els conjunts de Julia. Matemàtics com Julia i Fatou van poder raonar sobre ells matemàticament, però només van veure esbossos encisadors i dibuixats a mà del que podrien semblar.

Avui no tenim aquest problema: les imatges a continuació són diferents conjunts de Julia. Els diferents colors indiquen la rapidesa amb què es desvia la seqüència en aquest punt:

c=0.701760.3842i

c=0.4+0.6i

c=0.285+0.01i

El Conjunt Mandelbrot

En crear els diferents conjunts de Julia, és possible que us hagueu adonat que hi havia alguns valors de c pels quals cada seqüència es desvia i que tot el pla complex roman en blanc. Unes dècades després de Julia i Fatou, una nova generació de matemàtics van intentar fer un mapa de com eren aquestes àrees.

A l'exemple anterior, trieu un valor fix per a c i després canvieu la posició de x0 per acolorir el pla. Ara fixem el valor de x0=0 i en canvi canvieu el valor de c .

Una vegada més, pinta sobre el pla complex per revelar la zona on resten les seqüències. Quines formes espereu que apareguin?

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!

Aquest fractal s’anomena conjunt Mandelbrot i, quan es gira 90°, sembla gairebé una persona, amb el cap, el cos i els dos braços. Va ser definit i dibuixat per primera vegada el 1978, en un treball de recerca dels matemàtics Robert Brooks i Peter Matelski:

Pocs anys després, Benoit Mandelbrot va utilitzar els potents ordinadors d’IBM per crear una visualització molt més detallada del fractal, que després va rebre el seu nom. Les primeres impressions tenien un aspecte diferent del que esperava, fins que es va adonar que els tècnics que treballaven a les impressores netejaven la "borrosa" al voltant de la seva vora, suposant que era causada per partícules de pols o errors de la impressora i no una característica definidora dels fractals. !

Com tots els fractals, podem “ampliar” el conjunt de Mandelbrot per sempre, trobant nous patrons a cada escala. Aquí podeu fer zoom a una part del conjunt de Mandelbrot que s’anomena la vall de Seahorse . Els punts negres es troben dins del conjunt de Mandelbrot, on la seqüència està delimitada. Els punts de colors es troben fora del conjunt de Mandelbrot, on la seqüència es desvia i els diferents colors indiquen la rapidesa amb què creix fins a l’infinit:

Scale: ${pow(scale)}

Aquest control lliscant consta de 27 imatges individuals, fins a un nivell de zoom de més de 14 quadrillions o 254 . En total, van trigar gairebé 45 minuts a renderitzar-se en un ordinador portàtil modern. El conjunt de Mandelbrot es pot crear amb una única equació simple, xn=xn12+c , però, és infinitament complex i impressionant.

A mesura que es mou el valor de c al voltant del conjunt Mandelbrot, podríeu notar una propietat curiosa:

  • Totes les seqüències del cos principal del conjunt Mandelbrot fins a un sol punt.
  • Les seqüències dins del gran bulb de la part superior format per punts.
  • Les seqüències d’ aquest bulb més petit tenen òrbites de longitud .

Cada bulb té una òrbita de diferent mida, i els bulbs més petits tenen cada cop més punts en les seves òrbites. La mida d’aquestes òrbites estan estretament relacionades amb el Mapa Logístic , un concepte important en la teoria del caos .

Bernoit Mandelbrot va dedicar la major part de la seva vida a l’estudi dels fractals, així com a les matemàtiques de la rugositat i l’ autosemblança . El seu treball va tenir aplicacions en física, meteorologia, neurologia, economia, geologia, enginyeria, informàtica i molts altres camps.

El 1985, el conjunt Mandelbrot va aparèixer a la portada de la revista Scientific American , i des d’aleshores s’ha convertit en una de les formes matemàtiques més reconeixibles del món. Podeu trobar-lo en samarretes, en vídeos musicals i com a protectors de pantalla, i heu fet referència a molts llibres i pel·lícules populars.