Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

FractalsIntroducció

Temps de lectura: ~50 min

En observar la natura, potser haureu percebut plantes complexes com aquestes:

Aquesta falguera consta de moltes fulles petites que es ramifiquen en una de més gran.

Aquest bròquil romànic consta de més petits en espiral al voltant d’una més gran.

Inicialment, semblen formes molt complexes, però quan us hi fixeu més a prop, podreu notar que ambdues segueixen un patró relativament senzill: totes les parts individuals de les plantes semblen exactament iguals a les de tota la planta. El mateix patró es repeteix una i altra vegada a petites escales.

En matemàtiques, anomenem aquesta propietat autosemblança i les formes que la tenen s'anomenen fractals . Són alguns dels objectes més bells i estranys de totes les matemàtiques.

Per crear els nostres propis fractals, hem de començar per un senzill patró i repetir-ho una vegada i una altra a petites escales.

Un dels patrons més senzills podria ser un segment de línia , amb dos segments més que es ramifiquen per un extrem. Si repetim aquest patró, tots dos segments blaus també tindran dues branques més als seus extrems.

Podeu moure els punts blaus per canviar la longitud i l'angle de totes les branques. A continuació, augmenteu el nombre d'iteracions mitjançant la barra lliscant que hi ha a continuació.

Segons la posició de les branques, es poden fer patrons completament diferents, com la dalt, un o . Què més podeu trobar?

Un altre famós fractal és el triangle de Sierpinski . En aquest cas, comencem per un gran triangle equilàter i, posteriorment, tallem repetidament triangles més petits de les parts restants.

Observeu com la forma final es compon de tres còpies idèntiques i cadascuna d'elles està formada per còpies encara més petites de tot el triangle! Podeu continuar fent zoom al triangle per sempre, i els patrons i les formes continuaran repetint-se.

Les plantes al començament d’aquest capítol semblen fractals, però és clarament impossible crear fractals veritables a la vida real. Si continuem repetint el mateix patró una vegada i una altra, cada cop més petita, arribaríem a cèl·lules, molècules o àtoms que ja no es poden dividir.

Tot i això, utilitzant les matemàtiques, podem pensar en les propietats que tindrien els fractals reals, i aquestes són molt sorprenents ...

Mides fractals

Primer, pensem en la dimensió dels fractals. Una línia té dimensió . En escalar-la per un factor de 2, la seva longitud augmenta un factor de 21=2 . Evidentment!

Un quadrat té dimensió . En escalar-lo per un factor de 2, la seva àrea augmenta un factor de 22= .

Un cub té dimensió . En escalar-lo per un factor de 2, el seu volum augmenta en un factor de 23= . Observeu que el cub més gran de la imatge consta de 8 còpies del més petit.

Ara fem un cop d’ull al triangle de Sierpinski. Si l'escalem per un factor de 2, podreu veure que la seva "àrea" augmenta un factor de .

Diguem que d és la dimensió del triangle de Sierpinski. Utilitzant el mateix patró que anteriorment, obtenim 2d=3 . En altres paraules, d = ≈ 1.585 ...

Però espera… com pot tenir una dimensió que no sigui un nombre enter? Sembla impossible, però aquesta és només una de les estranyes propietats dels fractals. De fet, això és el que dóna nom als fractals: tenen una dimensió fraccionada .

Amb cada iteració, eliminem part de l’àrea del triangle de Sierpinski. Si ho poguéssim fer infinitament moltes vegades, en realitat no hi hauria cap àrea: per això el triangle de Sierpinski es troba entre una àrea bidimensional i una línia unidimensional.

Si bé molts fractals són autònoms, una definició millor és que els fractals són formes que no tenen una dimensió entera .

El floc de neu de Koch

Hi ha moltes formes a la natura que semblen fractals. Ja hem vist algunes plantes al començament d’aquest capítol. Altres exemples excel·lents són els flocs de neu i els cristalls de gel:

Per crear el nostre propi floc de neu fractal, hem de trobar una vegada més un simple procediment que podem aplicar una i altra vegada.

Com amb el triangle de Sierpinski, comencem per un sol triangle equilàter. No obstant això, en lloc de treure triangles més petits a cada pas, afegim triangles més petits al llarg de la vora. La longitud lateral de cada triangle és dels triangles del pas anterior.

La forma resultant s’anomena floc de neu de Koch , batejat amb el nom del matemàtic suec Helge von Koch . Observeu, una vegada més, que petites seccions de la vora del floc de neu semblen exactament igual que les seccions més grans .

Quan escalem un segment d’aresta del Floc de neu de Koch per un factor de 3, la seva longitud es

Utilitzant la mateixa relació entre dimensions i factors d’escala que anteriorment, obtenim l’equació . Això vol dir que la dimensió del Floc de neu de Koch és d=log341.262 .

Àrea

La creació dels flocs de neu de Koch és gairebé com una seqüència recursiva : coneixem la forma inicial (un triangle) i sabem com passar d’un terme a l’altre (afegint més triangles a cada cantó):

nous triangles

nous triangles

nous triangles

Després de la primera iteració, el nombre de nous triangles afegits augmenta un factor de a cada pas. Al mateix temps, l'àrea d'aquests nous triangles disminueix en un factor de a cada pas.

Diguem que el primer triangle té una àrea de 1. Llavors l’àrea total dels tres triangles següents és 3×19=13 . Tots els passos següents formen una , amb proporció comuna .

Utilitzant la fórmula per a la suma de sèries geomètriques infinites, podem calcular que l’àrea total del floc de neu de Koch és

A=1+13×1=85=1.6 .

Perímetre

També podem intentar calcular el perímetre del floc de neu de Koch. Com ja hem vist anteriorment, la longitud del perímetre canvia per un factor de a cada pas.

Això vol dir que, una vegada més, tenim una sèrie geomètrica, però en aquest cas Això vol dir que el perímetre del floc de neu de Koch és infinitament llarg !

Si això sembla contraintuïtiu, només cal recordar que multipliquem el perímetre per 43 a cada pas i ho fem infinitament moltes vegades.

És gairebé impensable que es pugui tenir una forma amb una àrea finita i també una circumferència infinita , però aquesta és només una de les moltes propietats inesperades dels fractals.

Pots trobar altres maneres de crear fractals propis?

"La meva ànima gira en forma de fractals congelades al voltant ..."

Esponja de Menger

Els fractals no han de ser “plans”, com molts dels exemples anteriors. Un dels fractals més famosos que tenen aspecte tridimensional és l’ esponja de Menger , batejada amb el nom del matemàtic Karl Menger que la va descriure per primera vegada el 1926.

Comencem amb un cub sòlid i foradem repetidament forats cada cop més petits als seus costats. Cada nova iteració de forats té l'amplada de la iteració anterior dels forats.

A 3×3×3 el cub consta de 27 cubs més petits, però aquí hem eliminat alguns d’aquests. L’esponja de Menger consta de còpies de si mateixes, que són 3 vegades més petites.

Ara podem intentar calcular la dimensió d de l’esponja de Menger tal i com ho vam fer per al floc de neu de Koch anterior. En aquest cas aconseguim 3d=20 , o d=log3202.727 .

Si imaginem retallar cada cop més forats, infinitament moltes vegades, no quedaria el volum real. És per això que el cub no és "completament" tridimensional!

Litorals fractals

Una de les característiques clau de tots els fractals que hem vist fins ara és que podeu "fer zoom" per sempre i trobar sempre nous patrons. Al voltant de 1920, el matemàtic britànic Lewis Fry Richardson es va adonar que el mateix és cert per a la frontera o la costa de molts països.

Comenceu amb la forma bàsica del país i, a mesura que us feu zoom, afegiu entrades de riu, badies i estuaris, després penya-segats, roques, còdols i així successivament:

Aquest és un problema important quan es tracta de calcular la longitud de la frontera d’un país: com es decideix fins a quin punt podreu fer zoom i quins punts i racons incloure?

Una manera de poder mesurar la longitud de la costa britànica, per exemple, és agafar un llarg regle, recórrer totes les platges i després sumar totes les distàncies.

Si el regle fa ${rulers[index]} km de llarg, l’hem d’utilitzar ${count} vegades, així que obtenim un litoral total de ${count} × ${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km.

Només podem seguir endavant, amb regles més i més petits, i cada cop el nostre resultat per a la longitud de la línia de costa seria una mica més llarg. Igual que el Floc de neu de Koch abans, sembla que la costa britànica és infinitament llarga! Sovint s’anomena paradoxa de la costa .

Unes dècades després, el matemàtic Benoit Mandelbrot va topar amb l'obra de Richardson en un llibre de la biblioteca descatalogat, mentre treballava a IBM. Va reconèixer la seva importància, i també com es relaciona amb investigacions més recents sobre fractals i dimensions.

El litoral britànic, certament, "sembla" fractal, però no és similar a si mateix , com altres fractals que hem vist abans. Per trobar la seva mida, podem dibuixar-la en una graella i comptar el nombre de cel·les amb les quals s’entrecreua.

Inicialment, hi ha 88 cel·les que s’entrecreuen. Si escalem la costa amb un factor de 2, hi ha 197 cel·les que s’encreuen, més del doble!

La mida del litoral ha augmentat un factor de 19788 . Com abans, això vol dir que la dimensió del litoral és

d=log2197881.16

Si repetim això amb quadrícules més grans, trobaríem que la dimensió del litoral britànic és aproximadament 1,21. Mandelbrot es va adonar que aquesta dimensió fractal és també una mesura de la rugositat d'una forma: un concepte nou, per al qual va trobar aplicacions importants en moltes altres àrees de les matemàtiques i de la ciència.

Més fractals en natura i tecnologia

Si bé els veritables fractals mai poden aparèixer a la natura, hi ha molts objectes que semblen gairebé fractals. Ja hem vist plantes, flocs de neu i litorals, i en deixem alguns exemples més:

Serralada a l'Àsia central

Delta del riu Ganges a l'Índia

Els llamps

Vasos sanguinis a la retina

Grand Canyon als EUA

Núvols

Tots aquests objectes poden semblar completament aleatoris, però, igual que els fractals, hi ha un patró subjacent que determina com es formen. Les matemàtiques ens poden ajudar a entendre millor les formes i les fractals tenen aplicacions en camps com la medicina, la biologia, la geologia i la meteorologia.

Terreny fractal generat per ordinador

També podem utilitzar fractals per crear “còpies” realistes de la natura, per exemple, com a paisatges i textures usades en videojocs o pel·lícules generades per ordinador. L’aigua, muntanyes i núvols d’aquesta imatge estan realitzats íntegrament per un ordinador, amb l’ajuda de fractals!

I fins i tot podem revertir aquest procés per comprimir imatges digitals, per reduir la mida del seu fitxer. Els primers algoritmes van ser desenvolupats per Michael Barnsley i Alan Sloan a la dècada de 1980, i encara se n’investiguen de nous.