English
عربى
Azərbaycan
Català
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtCercles i PiTangents, Acords i Arcs
A les seccions anteriors, heu après els noms donats a diverses parts diferents d’un cercle, com ara el centre, el radi, el diàmetre i la circumferència. Tot i així, hi ha molts elements geomètrics relacionats amb un cercle, que necessitarem per resoldre problemes més complexos:
- Una secant és una línia que interseca un cercle en dos punts.
- Una corda és un segment de línia els extrems del qual es troben en la circumferència d'un cercle.
- Una tangent és una línia que toca un cercle exactament en un punt. Això s’anomena punt de tangència.
- Un arc és una secció de la circumferència d’un cercle.
- Un El sector és una part de l’interior d’un cercle, delimitat per un arc i dos radis .
- Finalment, un el segment és una part de l’interior d’un cercle, delimitat per un arc i una corda.
En aquest apartat, analitzarem la relació entre tots aquests elements i provarem teoremes sobre les seves propietats. No us preocupeu de memoritzar totes les definicions per ara, sempre podeu utilitzar el
Tangents
PRÒXIMAMENT!
Acords
PRÒXIMAMENT!
Arcs i sectors
La majoria de científics de l’antiga Grècia van coincidir que la Terra és una esfera. Hi havia moltes proves: des de vaixells que desapareixien darrere de l’horitzó al mar, fins al moviment circular de les estrelles durant la nit.
Malauradament, ningú no sabia exactament com era la Terra, fins al voltant del 200 aC, quan el matemàtic
Com es pot veure al diagrama, un l’arc és una part de la
L’arc entre dos punts A i B s’escriu sovint com
El més petit dels dos arcs s’anomena arc menor , i el més gran s’anomena arc major . Si els punts A i B estan exactament oposats els dos, els dos arcs tenen la mateixa longitud i són
Per trobar la longitud d’un arc o l’àrea d’un sector, hem de conèixer l’angle corresponent al centre del cercle: això s’anomena angle central .
Observeu com l’arc, el sector i l’angle ocupen la mateixa proporció d’un cercle complet. Per exemple, si l' angle central és 90° , ocupa
Això significa que la longitud de l’arc també és
Podem expressar aquesta relació amb una equació:
Ara podem reorganitzar aquestes equacions per trobar la variable que ens interessi. Per exemple,
| longitud de l’arc | = | |
| = |
| àrea sectorial | = | |
| = |
on r és el radi del cercle i c és la mida de l'angle central.
Si l'angle central es mesura en
| longitud de l’arc | = | |
| = |
| àrea sectorial | = | |
| = |
Observeu com les equacions es fan molt més senzilles i π es cancel·la a tot arreu. Això és degut a que, com podeu recordar, la definició de radians és bàsicament la longitud d’un arc d’un cercle amb radi 1.
Ara veiem com podem utilitzar arcs i sectors per calcular la circumferència de la Terra.
A l’antic Egipte, la ciutat de Swenet estava situada al llarg del riu Nil. Swenet era famosa per un pou amb una curiosa propietat: hihavia un moment cada any quan la llum del sol arribava al fons mateix del pou, al migdia del 21 de juny, el dia del solstici d’estiu . En aquell moment precís, s'il·luminava el fons del pou, però no els seus costats, fet que significa que el Sol es trobava directament a sobre del pou.
Els antics egipcis mesuraven llargues distàncies comptant el nombre de passos que calia caminar.
Algunes fonts diuen que el "pou d'Eratòstenes" es trobava a l'illa Elefantina al riu Nil.
El matemàtic
Eratòstenes es va adonar que al migdia del dia del solstici d’estiu, l’obelisc projectava una ombra, fet que significa que el sol no estava directament a sobre. Va deduir que això era a causa de la curvatura de la Terra i es va adonar que es podia utilitzar per calcular la circumferència del nostre planeta.
Aquí podeu veure el pou de Swenet i l’obelisc d’Alexandria. Els raigs de sol cauen directament al pou, però toquen l’obelisc en un angle i fan una ombra.
Eratòstenes va mesurar que l'angle de l'ombra era de 7,2°. Això és el mateix que l' angle central del centre arc d’Alexandria a Swenet, perquè
Ara podem fer servir l'equació per a la longitud d'arc que hem derivat anteriorment:
Si reorganitzem això, trobem que la circumferència de la Terra és
Finalment, sabem que la circumferència d’un cercle és
El mesurament d’Eratòstenes va ser un dels experiments més importants de l’antiguitat. La seva estimació de la mida de la Terra era sorprenentment exacta, sobretot tenint en compte que només tenia accés a eines de mesura molt bàsiques.
Per descomptat, pot ser difícil traduir els seus resultats originals en unitats modernes com quilòmetres. A l’antiga Grècia, la distància es mesurava en estadis (aproximadament 160 m), però no hi havia cap estàndard universal. Totes les àrees tenien una versió lleugerament diferent, i no sabem quina Eratòstenes feia servir.
Als segles següents, els científics van intentar utilitzar altres mètodes per calcular el radi de la Terra, de vegades amb resultats molt diferents i incorrectes.
Va ser una d’aquestes mesures incorrectes que va impulsar a Cristòfor Colom a navegar a l’oest des de Portugal. Va suposar que la Terra era molt més petita del que és realment i esperava arribar a l'Índia. De fet, va arribar a un continent diferent entremig: les Amèriques.
Segments
PRÒXIMAMENT!