Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Cercles i PiTangents, Acords i Arcs

Temps de lectura: ~30 min

A les seccions anteriors, heu après els noms donats a diverses parts diferents d’un cercle, com ara el centre, el radi, el diàmetre i la circumferència. Tot i així, hi ha molts elements geomètrics relacionats amb un cercle, que necessitarem per resoldre problemes més complexos:

  • Una secant és una línia que interseca un cercle en dos punts.
  • Una corda és un segment de línia els extrems del qual es troben en la circumferència d'un cercle.
  • Una tangent és una línia que toca un cercle exactament en un punt. Això s’anomena punt de tangència.
  • Un arc és una secció de la circumferència d’un cercle.
  • Un El sector és una part de l’interior d’un cercle, delimitat per un arc i dos radis .
  • Finalment, un el segment és una part de l’interior d’un cercle, delimitat per un arc i una corda.

En aquest apartat, analitzarem la relació entre tots aquests elements i provarem teoremes sobre les seves propietats. No us preocupeu de memoritzar totes les definicions per ara, sempre podeu utilitzar el glossari .

Tangents

PRÒXIMAMENT!

Acords

PRÒXIMAMENT!

Arcs i sectors

La majoria de científics de l’antiga Grècia van coincidir que la Terra és una esfera. Hi havia moltes proves: des de vaixells que desapareixien darrere de l’horitzó al mar, fins al moviment circular de les estrelles durant la nit.

Malauradament, ningú no sabia exactament com era la Terra, fins al voltant del 200 aC, quan el matemàtic Eratòstenes va trobar una manera enginyosa de mesurar el radi de la Terra mitjançant geometria bàsica. Tot el que necessitem és una mica més de coneixement sobre arcs i sectors d’un cercle.

Com es pot veure al diagrama, un l’arc és una part de la d’un cercle, i un sector és una part de l’ d’un cercle.

L’arc entre dos punts A i B s’escriu sovint com AB . Aquesta definició és lleugerament ambigua: hi ha un segon arc que connecta A i B, però va a la inversa.

El més petit dels dos arcs s’anomena arc menor , i el més gran s’anomena arc major . Si els punts A i B estan exactament oposats els dos, els dos arcs tenen la mateixa longitud i són .

Per trobar la longitud d’un arc o l’àrea d’un sector, hem de conèixer l’angle corresponent al centre del cercle: això s’anomena angle central .

Observeu com l’arc, el sector i l’angle ocupen la mateixa proporció d’un cercle complet. Per exemple, si l' angle central és 90° , ocupa del cercle complet

Això significa que la longitud de l’arc també és 14 de la circumferència sencera del cercle i l’àrea del sector és 14 de tota la zona del cercle.

Podem expressar aquesta relació amb una equació:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

Ara podem reorganitzar aquestes equacions per trobar la variable que ens interessi. Per exemple,

longitud de l’arc=circumference×c360
=2πr×c360
àrea sectorial=circle area×c360
=πr2×c360

on r és el radi del cercle i c és la mida de l'angle central.

Si l'angle central es mesura en radians més que en graus, podem fer servir les mateixes equacions, però hem de substituir 360° per :

longitud de l’arc=2πr×c2π
=r×c
àrea sectorial=πr2×c2π
=12r2c

Observeu com les equacions es fan molt més senzilles i π es cancel·la a tot arreu. Això és degut a que, com podeu recordar, la definició de radians és bàsicament la longitud d’un arc d’un cercle amb radi 1.

Ara veiem com podem utilitzar arcs i sectors per calcular la circumferència de la Terra.

A l’antic Egipte, la ciutat de Swenet estava situada al llarg del riu Nil. Swenet era famosa per un pou amb una curiosa propietat: hihavia un moment cada any quan la llum del sol arribava al fons mateix del pou, al migdia del 21 de juny, el dia del solstici d’estiu . En aquell moment precís, s'il·luminava el fons del pou, però no els seus costats, fet que significa que el Sol es trobava directament a sobre del pou.

Els antics egipcis mesuraven llargues distàncies comptant el nombre de passos que calia caminar.

Algunes fonts diuen que el "pou d'Eratòstenes" es trobava a l'illa Elefantina al riu Nil.

El matemàtic Eratòstenes vivia a Alexandria , a uns 800  km al nord de Swenet, on fou director de la Gran Biblioteca. Al centre de la ciutat d’Alexandria s’alçava un obelisc, un monument alt i estret amb una part superior en forma de piràmide.

Eratòstenes es va adonar que al migdia del dia del solstici d’estiu, l’obelisc projectava una ombra, fet que significa que el sol no estava directament a sobre. Va deduir que això era a causa de la curvatura de la Terra i es va adonar que es podia utilitzar per calcular la circumferència del nostre planeta.

Aquí podeu veure el pou de Swenet i l’obelisc d’Alexandria. Els raigs de sol cauen directament al pou, però toquen l’obelisc en un angle i fan una ombra.

Eratòstenes va mesurar que l'angle de l'ombra era de 7,2°. Això és el mateix que l' angle central del centre arc d’Alexandria a Swenet, perquè angles

Ara podem fer servir l'equació per a la longitud d'arc que hem derivat anteriorment:

arc lengthcircumference=°360°

Si reorganitzem això, trobem que la circumferència de la Terra és

circumference=360°7.2°×800 km=km

Finalment, sabem que la circumferència d’un cercle és C=2πr , així doncs el radi de la Terra és

rEarth=40000km2π6400km .

El mesurament d’Eratòstenes va ser un dels experiments més importants de l’antiguitat. La seva estimació de la mida de la Terra era sorprenentment exacta, sobretot tenint en compte que només tenia accés a eines de mesura molt bàsiques.

Per descomptat, pot ser difícil traduir els seus resultats originals en unitats modernes com quilòmetres. A l’antiga Grècia, la distància es mesurava en estadis (aproximadament 160 m), però no hi havia cap estàndard universal. Totes les àrees tenien una versió lleugerament diferent, i no sabem quina Eratòstenes feia servir.

Als segles següents, els científics van intentar utilitzar altres mètodes per calcular el radi de la Terra, de vegades amb resultats molt diferents i incorrectes.

Va ser una d’aquestes mesures incorrectes que va impulsar a Cristòfor Colom a navegar a l’oest des de Portugal. Va suposar que la Terra era molt més petita del que és realment i esperava arribar a l'Índia. De fet, va arribar a un continent diferent entremig: les Amèriques.

Segments

PRÒXIMAMENT!