Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Cercles i PiEsferes, cons i cilindres

Temps de lectura: ~55 min
Aquesta pàgina ha estat traduïda automàticament i pot contenir errors. Poseu-vos en contacte si voleu ajudar-nos a revisar les traduccions.

En els apartats anteriors, es van estudiar les propietats dels cercles en una superfície plana. Però el nostre món és realment tridimensional, de manera que anem a fer una ullada a alguns sòlids 3D basats en cercles:

Un cilindre consta de dos cercles paral·lels congruents i units per una superfície corba.

Un con té una base circular que s’uneix a un sol punt (anomenat vèrtex).

Cada punt de la superfície d’una esfera té la mateixa distància del centre.

Observeu com la definició d’una esfera és gairebé la mateixa que la definició d’un , excepte en tres dimensions.

Cilindres

Aquí podeu veure el gasòmetre cilíndric a Oberhausen, Alemanya. Solia emmagatzemar gas natural que s'utilitzava com a combustible en fàbriques i centrals properes. El gasòmetre fa 120 m d'altura i la base i el sostre són dos grans cercles amb un radi de 35 m. Hi ha dues preguntes importants que els enginyers poden voler respondre:

  • Quant gas natural es pot emmagatzemar? Aquest és el del cilindre.
  • Quanta quantitat d'acer es necessita per construir el gasòmetre? Aquesta és (aproximadament) la del cilindre.

Intentem trobar fórmules per a tots dos resultats!

Gasòmetre Oberhausen

Volum d'un cilindre

La part superior i inferior d’un cilindre són dos cercles congruents, anomenats bases . El l'alçada h d'un cilindre és la distància perpendicular entre aquestes bases i la distància el radi r d’un cilindre és simplement el radi de les bases circulars.

Podem aproximar un cilindre utilitzant a ${n} prisma lateral. A mesura que augmenta el nombre de costats, el prisma comença a semblar cada cop més a un cilindre:

Tot i que tècnicament un cilindre no és un prisma, comparteixen moltes propietats. En ambdós casos, podem trobar el volum multiplicant l’àrea del seu base amb el seu alçada . Això significa que un cilindre amb radi r i alçada h té volum

V=

Recordeu que el radi i l’altura han d’utilitzar les mateixes unitats. Per exemple, si r i h són tots dos en cm, el volum serà dins .

En els exemples anteriors, les dues bases del cilindre estaven sempre directament les unes sobre les altres : això s’anomena cilindre dret . Si les bases no estan directament les unes sobre les altres, tenim un cilindre oblic . Les bases encara són paral·leles, però els costats semblen "inclinar-se" en un angle que no sigui de 90°.

La torre inclinada de Pisa a Itàlia no és un cilindre oblic.

El volum d’un cilindre oblic resulta exactament el mateix que el d’un cilindre dret amb el mateix radi i alçada. Això es deu al Principi de Cavalieri , batejat amb el nom del matemàtic italià Bonaventura Cavalieri : si dos sòlids tenen la mateixa àrea de secció transversal a cada altura, tindran el mateix volum.

Imagineu que talleu un cilindre en molts discos prims. Podem lliscar aquests discs horitzontalment per obtenir un cilindre oblic. El volum dels discos individuals no canvia ja que ho fan oblic, per tant, el volum total continua sent constant:

Superfície d’un cilindre

Per trobar la superfície d’un cilindre, l’hem de “desenrotllar” a la seva xarxa plana. Podeu provar-ho vosaltres mateixos, per exemple pelant l'etiqueta sobre una llauna d'aliments.

Hi ha dos , un a la part superior i un a la part inferior del cilindre. El costat corbat és en realitat un gran .

  • Els dos cercles tenen àrea .
  • L'altura del rectangle és i l'amplada del rectangle és la mateixa que la dels cercles: .

Això vol dir que la superfície total d'un cilindre amb el radi r i l'alçada h ve donada per

A= .

Es poden trobar cilindres a tot el món, des de llaunes de soda fins a paper higiènic o canonades d’aigua. Pot pensar en altres exemples?

El gasòmetre superior tenia un radi de 35 metres i una alçada de 120 m. Ara podem calcular que el seu volum és aproximadament de m3 i la seva superfície és d’aproximadament m2 .

Cons

Un con és un sòlid tridimensional que té una circular base El seu costat "es desplaça cap a dalt", tal com es mostra al diagrama, i acaba en un sol punt anomenat el vèrtex

El el radi del con és el radi de la base circular i el l'altura del con és la distància perpendicular de la base al vèrtex.

Igual que altres formes que coneixíem abans, els conos són arreu del nostre voltant: cons gelats, cons de trànsit, certs sostres i fins i tot arbres de Nadal. Què més es pot pensar?

Volum d'un con

Abans hem trobat el volum d’un cilindre aproximant-lo mitjançant un prisma. De la mateixa manera, podem trobar el volum d’un con aproximant-lo mitjançant una piràmide .

Aquí podeu veure a ${n} -piràmide lateral. A mesura que augmenta el nombre de costats, la piràmide comença a semblar cada cop més a un con. De fet, podríem pensar en un con com una piràmide amb infinitat de costats!

Això també vol dir que també podem fer servir l'equació del volum: V=13base×height . La base d’un con és un cercle, de manera que el volum d’un con amb radi r i alçada h és

V=

Observeu la similitud amb l’equació del volum d’un cilindre. Imagineu que dibuixeu un cilindre al voltant del con, amb la mateixa base i alçada, a això s'anomena cilindre circumscrit . Ara, el con ocuparà exactament del volum del cilindre:

Nota: podríeu pensar que infinitament molts costats diminuts com a aproximació són una mica "imprecisos". Els matemàtics van passar una bona estona intentant trobar una forma més senzilla de calcular el volum d’un con. El 1900, fins i tot, el gran matemàtic David Hilbert el va nomenar com un dels 23 problemes més importants que no es resolen en matemàtiques. Avui sabem que en realitat és impossible.

Igual que un cilindre, el con no ha de ser “recte”. Si el vèrtex està directament sobre el centre de la base, tenim un con dret . En cas contrari, l’anomenem con oblic .

Una vegada més, podem fer servir el principi de Cavalieri per demostrar que tots els cons oblics tenen el mateix volum, sempre que tinguin la mateixa base i alçada.

Superfície d’un Con

Trobar la superfície d’un con és una mica més complicat. Com abans, podem desenterrar un con a la xarxa. Desplaceu el control lliscant per veure què passa: en aquest cas, obtenim un cercles i un de .

Ara només hem de sumar l'àrea d'aquests dos components. El base és un cercle amb radi r , per la qual cosa la seva àrea és

ABase= .

El radi de sector és la mateixa que la distància des de la vora d'un con amb el seu vèrtex. Això s’anomena el alçada inclinada S de el con, i no la mateixa que la normal, alçada h . Podem trobar l'alçada inclinada mitjançant Pitàgores :

s2=
s=

El la longitud d' arc del sector és la mateixa que la de la base : 2πr . Ara podem trobar l'àrea del sector mitjançant la fórmula que hem derivat en un apartat anterior:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Finalment, només hem de sumar l’àrea del base i l'àrea del sector, per obtenir la superfície total de són de el con:

A=

Esferes

Una esfera és un sòlid tridimensional format per tots els punts que tenen la mateixa distància d'un determinat centre C. Aquesta distància s'anomena el radi r de l’esfera.

Es pot pensar en una esfera com un " cercle tridimensional". Igual que un cercle, una esfera també té diàmetre d , que és el la longitud del radi, així com els acords i els secants.

En un apartat anterior , vau conèixer com el matemàtic grec Eratòstenes calculava el radi de la Terra utilitzant l’ombra d’un pol - era de 6.371 km. Ara, anem a buscar el volum i la superfície total de la Terra.

Volum d'una esfera

Per trobar el volum d’una esfera, hem de tornar a utilitzar el Principi de Cavalieri. Comencem amb un hemisferi: una esfera tallada per la meitat al llarg de l'equador. També necessitem un cilindre amb el mateix radi i alçada que l’hemisferi, però amb un con invertit “retallat” al centre.

A mesura que moveu el control lliscant a sota, podeu veure la secció transversal de totes dues formes a una alçada específica per sobre de la base:

Intentem trobar l’àrea de secció transversal d’aquests dos sòlids a distància alçada h per sobre de la base.

La secció transversal de l’hemisferi sempre és un .

El El radi x de la secció transversal forma part de a triangle amb angle recte , de manera que podem fer servir Pitàgores :

r2=h2+x2 .

Ara, l’àrea de la secció transversal és

A=

La secció transversal del cilindre tallat és sempre un .

El radi del forat és h . Podem trobar la zona de l’anell restant l’àrea del forat de la zona del cercle més gran:

A=πr2πh2
=πr2h2

Sembla que tots dos sòlids tenen la mateixa zona de secció transversal a tots els nivells. Segons el principi de Cavalieri, tots dos sòlids també han de tenir el mateix ! Podem trobar el volum de l’hemisferi restant el volum del cilindre i el volum del con :

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Una esfera consta de hemisferis, cosa que vol dir que ha de ser el seu volum

V=43πr3 .

La Terra és (aproximadament) una esfera amb un radi de 6.371  km. Per tant, el seu volum és

V=
= 1 km3

La densitat mitjana de la Terra és 5510kg/m3 . Això vol dir que la seva massa total és

Mass=Volume×Density6×1024kg

Això és un 6 seguit de 24 zeros.

Si compareu les equacions del volum d’un cilindre, un con i una esfera, podríeu observar una de les relacions més satisfactòries de la geometria. Imagineu que tenim un cilindre amb la mateixa alçada que el diàmetre de la seva base. Ara podem encaixar perfectament un con i una esfera en el seu interior:

+

Aquest con té radi r i alçada 2r . El seu volum és

=

Aquesta esfera té radi r . El seu volum és

Aquest cilindre té radi r i alçada 2r . El seu volum és

Observeu com, si ens el volum del con i l’esfera, obtenim exactament el volum del cilindre!

Superfície d’una esfera

Trobar una fórmula per a la superfície d’una esfera és molt difícil. Una de les raons és que no podem obrir ni “aplanar” la superfície d’una esfera, com abans en els cons i els cilindres.

Aquest és un problema particular quan s’intenta crear mapes. La Terra té una superfície corbada i tridimensional, però cada mapa imprès ha de ser pla i bidimensional. Això vol dir que els geògrafs han d’enganyar: estirant o esquitxant determinades zones.

Aquí podeu veure pocs tipus diferents de mapes, anomenats projeccions . Intenta moure el quadrat vermell, i veure el que aquesta zona en realitat s'assembla a un globus:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Per trobar la superfície d’una esfera, podem aproximar-la de nou amb una forma diferent (per exemple, un políedre amb moltes cares. A mesura que augmenta el nombre de cares, el políedre comença a semblar cada cop més a una esfera.

COM ARRIBAR: Prova de la superfície de l’esfera