Cercles i PiEsferes, cons i cilindres
En els apartats anteriors, es van estudiar les propietats dels cercles en una superfície plana. Però el nostre món és realment tridimensional, de manera que anem a fer una ullada a alguns sòlids 3D basats en cercles:
Un
Un
Cada punt de la superfície d’una
Observeu com la definició d’una esfera és gairebé la mateixa que la definició d’un
Cilindres
Aquí podeu veure el gasòmetre cilíndric a Oberhausen, Alemanya. Solia emmagatzemar gas natural que s'utilitzava com a combustible en fàbriques i centrals properes. El gasòmetre fa 120 m d'altura i la base i el sostre són dos grans cercles amb un radi de 35 m. Hi ha dues preguntes importants que els enginyers poden voler respondre:
- Quant gas natural es pot emmagatzemar? Aquest és el
del cilindre. - Quanta quantitat d'acer es necessita per construir el gasòmetre? Aquesta és (aproximadament) la
del cilindre.
Intentem trobar fórmules per a tots dos resultats!
Gasòmetre Oberhausen
Volum d'un cilindre
La part superior i inferior d’un cilindre són dos cercles congruents, anomenats bases . L' alçada h d'un cilindre és la distància perpendicular entre aquestes bases i el radi r d’un cilindre és simplement el radi de les bases circulars.
Podem aproximar un cilindre utilitzant
Tot i que tècnicament un cilindre no és un prisma, comparteixen moltes propietats. En ambdós casos, podem trobar el volum multiplicant l’àrea de la seva base per la seva alçada . Això significa que un cilindre amb radi r i alçada h té volum
Recordeu que el radi i l’altura han d’utilitzar les mateixes unitats. Per exemple, si r i h estan expressats tots dos en cm, el volum serà en
En els exemples anteriors, les dues bases del cilindre estaven sempre directament les unes sobre les altres : això s’anomena cilindre dret . Si les bases no estan directament les unes sobre les altres, tenim un cilindre oblic . Les bases encara són paral·leles, però els costats semblen "inclinar-se" en un angle que no sigui de 90°.
La torre inclinada de Pisa a Itàlia no és un cilindre oblic.
El volum d’un cilindre oblic resulta exactament el mateix que el d’un cilindre dret amb el mateix radi i alçada. Això es deu al
Imagineu que talleu un cilindre en molts discos prims. Podem lliscar aquests discs horitzontalment per obtenir un cilindre oblic. El volum dels discos individuals no canvia ja que ho fan oblic, per tant, el volum total continua sent constant:
Superfície d’un cilindre
Per trobar la superfície d’un cilindre, l’hem de “desenrotllar” en una
Hi ha dos
- Els dos cercles tenen àrea
. - L'altura del rectangle és
i l'amplada del rectangle és la mateixa que la dels cercles: .
Això vol dir que la superfície total d'un cilindre amb el radi r i l'alçada h ve donada per
Es poden trobar cilindres a tot el món, des de llaunes de soda fins a paper higiènic o canonades d’aigua. Pot pensar en altres exemples?
El gasòmetre superior tenia un radi de 35 metres i una alçada de 120 m. Ara podem calcular que el seu volum és aproximadament de
Cons
Un
El radi del con és el radi de la base circular i l' altura del con és la distància perpendicular de la base al vèrtex.
Igual que altres formes que coneixíem abans, els cons són arreu del nostre voltant: cons gelats, cons de trànsit, certs sostres i fins i tot arbres de Nadal. Què més se t'acut?
Volum d'un con
Abans hem trobat el volum d’un cilindre aproximant-lo mitjançant un prisma. De la mateixa manera, podem trobar el volum d’un con aproximant-lo mitjançant una
Aquí podeu veure
Això també vol dir que també podem fer servir l'equació del volum:
Observeu la similitud amb l’equació del volum d’un cilindre. Imagineu que dibuixeu un cilindre al voltant del con, amb la mateixa base i alçada, a això s'anomena cilindre circumscrit . Ara, el con ocuparà exactament
Nota: podríeu pensar que utilitzar infinits costats diminuts com a aproximació és una mica "imprecís". Els matemàtics van passar una bona estona intentant trobar una forma més senzilla de calcular el volum d’un con. El 1900, fins i tot el gran matemàtic
Igual que un cilindre, el con no ha de ser “recte”. Si el vèrtex està directament sobre el centre de la base, tenim un con dret . En cas contrari, l’anomenem con oblic .
Una vegada més, podem fer servir el principi de Cavalieri per demostrar que tots els cons oblics tenen el mateix volum, sempre que tinguin la mateixa base i alçada.
Superfície d’un Con
Trobar la superfície d’un con és una mica més complicat. Com abans, podem desenvolupar un con en el pla. Desplaceu el control lliscant per veure què passa: en aquest cas, obtenim un
Ara només hem de sumar l'àrea d'aquests dos components. La base és un cercle amb radi r , per la qual cosa la seva àrea és
El radi del sector és la mateixa que la distància des de la vora d'un con amb el seu vèrtex. Això s’anomena l' alçada inclinada S del con, i no és la mateixa que la normal, alçada h . Podem trobar l'alçada inclinada mitjançant
La longitud d' arc del sector és la mateixa que la
Finalment, només hem de sumar l’àrea de la base i l'àrea del sector, per obtenir la superfície total del con:
Esferes
Una
Es pot pensar en una esfera com un "
En un apartat anterior , vau veure com el matemàtic grec
Volum d'una esfera
Per trobar el volum d’una esfera, hem de tornar a utilitzar el Principi de Cavalieri. Comencem amb un hemisferi: una esfera tallada per la meitat al llarg de l'equador. També necessitem un cilindre amb el mateix radi i alçada que l’hemisferi, però amb un con invertit “retallat” al centre.
A mesura que moveu el control lliscant a sota, podeu veure la secció transversal de totes dues formes a una alçada específica per sobre de la base:
Intentem trobar l’àrea de secció transversal d’aquests dos sòlids a distància alçada h per sobre de la base.
La secció transversal de l’hemisferi sempre és un
El El radi x de la secció transversal forma part d'un triangle rectangle , de manera que podem fer servir
Ara, l’àrea de la secció transversal és
| A | = |
La secció transversal del cilindre tallat és sempre un
El radi del forat és h . Podem trobar la zona de l’anell restant l’àrea del forat de la zona del cercle més gran:
| A | = | |
| = |
Sembla que tots dos sòlids tenen la mateixa zona de secció transversal a tots els nivells. Segons el principi de Cavalieri, tots dos sòlids també han de tenir el mateix
| = | ||
| = |
Una esfera consta de
La Terra és (aproximadament) una esfera amb un radi de 6.371 km. Per tant, el seu volum és
| 1 |
La densitat mitjana de la Terra és
Això és un 6 seguit de 24 zeros.
Si compareu les equacions del volum d’un cilindre, un con i una esfera, podríeu observar una de les relacions més satisfactòries de la geometria. Imagineu que tenim un cilindre amb la mateixa alçada que el diàmetre de la seva base. Ara podem encaixar perfectament un con i una esfera en el seu interior:
Aquest con té radi
Aquesta esfera té radi
Aquest cilindre té radi
Observeu com, si
Superfície d’una esfera
Trobar una fórmula per a la superfície d’una esfera és molt difícil. Una de les raons és que no podem obrir ni “aplanar” la superfície d’una esfera, com abans hem fet amb els cons i els cilindres.
Aquest és un problema particular quan s’intenta crear mapes. La Terra té una superfície corbada i tridimensional, però cada mapa imprès ha de ser pla i bidimensional. Això vol dir que els geògrafs han d’enganyar: estirant o empetitint determinades zones.
Aquí podeu veure alguns tipus diferents de mapes, anomenats projeccions . Intenta moure el quadrat vermell, i veure que aquesta zona en realitat s'assembla a un globus:
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.
Per trobar la superfície d’una esfera, podem aproximar-la de nou amb una forma diferent (per exemple, un políedre amb moltes cares). A mesura que augmenta el nombre de cares, el políedre comença a semblar-se cada cop més a una esfera.
COM ARRIBAR: Prova de la superfície de l’esfera
English
عربى
Azərbaycan
Català
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng Việt