Cercles i PiGraus i Radians

Fins ara, en geometria, sempre hem mesurat angles en graus . A la rotació completa del cercle és de º, a el mig cercle és de º, a quart de cercle és de °, etc.

El número 360 és molt convenient perquè és divisible per tants altres nombres: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. Això significa que moltes fraccions d’un cercle també són nombres enters. Però us heu preguntat mai d’on prové el número 360? Continuar

Els astrònoms van notar que les constel·lacions visibles a una hora determinada durant la nit es desplaçaven cada dia una mica, fins que, després d'aproximadament 360 dies, havien tornat a girar cap al seu punt de partida. I potser aquesta va ser la raó per la qual van dividir el cercle en 360 graus.

Per descomptat, hi ha realment 365 dies en un any (bé, 365.242199 per ser exactes), però els matemàtics babilònics van treballar amb rellotges de sol simples, i aquesta aproximació era perfectament adequada.

També va funcionar bé amb el seu sistema de números de base-60 existent (des de llavors) 6×60=360 ). Aquest sistema és la raó per la qual encara tenim 60 segons en un minut i 60 minuts en una hora, tot i que la majoria d’altres unitats es mesuren a la base 10 (per exemple, 10 anys en una dècada o 100 anys en un segle).

Radians

En comptes de dividir un cercle en un nombre de segments (com 360 graus), els matemàtics prefereixen mesurar els angles mitjançant la circumferència d'un cercle unitari (un cercle amb radi 1).

Cada angle en graus té una mida equivalent en els radians. La conversió entre les dues és molt fàcil, de la mateixa manera que es pot convertir entre altres unitats com metres i quilòmetres, o Celsius i Fahrenheit:

360° = 2 π rad

Podeu escriure el valor dels radians com a múltiple de π o com un número decimal únic. Podeu emplenar aquesta taula de mides d'angle equivalents en graus i radians?

Distància recorreguda

Es pot pensar en els radians com la “distància recorreguda” al llarg de la circumferència d’un cercle d’unitat. Això és especialment útil quan es treballa amb objectes que es mouen per un camí circular.

Podeu veure que, en aquest exemple, els radians són una unitat molt més còmoda que els graus? Un cop coneguda la velocitat de gir, només hem de multiplicar pel radi per obtenir la velocitat real.

Aquí hi ha un altre exemple: el cotxe té rodes de radi 0,25  m. Si conduïu a una velocitat de 20  m / s, les rodes del vostre cotxe giraran a 200.25=8020×0.25=50.2550=0.0125 radians per segon (o 802π=13 rotacions per segon).

Trigonometria

Per a la majoria de problemes de geometria simples, graus i radians són completament intercanviables, podeu triar quina preferiu o bé una pregunta us podria dir a quina unitat heu de respondre. Tanmateix, un cop estudieu trigonometria o càlcul més avançat, resulta que els radians són molt més convenients que els graus.

L’ús de radians té un avantatge especialment interessant quan s’utilitza la funció sinus. Si θ és un angle molt petit (inferior a 20° o 0,3 rad), aleshores sinθ≈θ . Per exemple,

pecat ( ${x} ) ≈${sin(x)} ...

Això s’anomena aproximació d’angle petit, i pot simplificar molt algunes equacions que contenen funcions trigonomètriques. En el futur n'aprendreu molt més.