Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Cercles i PiGraus i Radians

Temps de lectura: ~30 min

Fins ara, en geometria, sempre hem mesurat angles en graus . A la rotació completa del cercle és de º, a el mig cercle és de º, a quart de cercle és de °, etc.

El número 360 és molt convenient perquè és divisible per tants altres nombres: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. Això significa que moltes fraccions d’un cercle també són nombres enters. Però us heu preguntat mai d’on prové el número 360?

Tal i com passa, 360 graus són un dels conceptes més antics en matemàtiques que encara utilitzem avui en dia. Van ser desenvolupats a l’antiga Babilònia, fa més de 5000 anys!

Aleshores, una de les aplicacions més importants de les matemàtiques era en astronomia. El sol determina les quatre estacions que els agricultors han de conèixer a l’hora de conrear les collites. De la mateixa manera, la lluna determina les marees, cosa important per als pescadors. La gent també estudiava les estrelles per predir el futur, o comunicar-se amb els déus.

Una tauleta babilònica per calcular 2

Els astrònoms van notar que les constel·lacions visibles a una hora determinada durant la nit es desplaçaven cada dia una mica, fins que, després d'aproximadament 360 dies, havien tornat a girar cap al seu punt de partida. I potser aquesta va ser la raó per la qual van dividir el cercle en 360 graus.

Midnight on day ${day}

Per descomptat, hi ha realment 365 dies en un any (bé, 365.242199 per ser exactes), però els matemàtics babilònics van treballar amb rellotges de sol simples, i aquesta aproximació era perfectament adequada.

També va funcionar bé amb el seu sistema de números de base-60 existent (des de llavors) 6×60=360 ). Aquest sistema és la raó per la qual encara tenim 60 segons en un minut i 60 minuts en una hora, tot i que la majoria d’altres unitats es mesuren a la base 10 (per exemple, 10 anys en una dècada o 100 anys en un segle).

Per a molts de nosaltres, mesurar angles en graus és el més natural: hi ha un vídeo a 360°, els patinadors poden treure 540s, i algú que canvia la seva decisió podria fer un gir de 180°.

Però des d’un punt de vista matemàtic, l’elecció del 360 és completament arbitrària. Si visquéssim a Mart, un cercle podria tenir 670°, i un any a Júpiter té fins i tot 10.475 dies.

El 540 McFlip, una rotació de 540 º

Radians

En comptes de dividir un cercle en un nombre de segments (com 360 graus), els matemàtics prefereixen mesurar els angles mitjançant la circumferència d'un cercle unitari (un cercle amb radi 1).

Un cercle complet té perímetre .

Per a una rotació de mig cercle, la distància corresponent al llarg de la circumferència és .

Per a un gir de quart de cercle, la distància al llarg de la circumferència és .

I així successivament: aquesta manera de mesurar els angles s'anomena radians (ho podríeu recordar com a "unitats de radi").

Cada angle en graus té una mida equivalent en els radians. La conversió entre les dues és molt fàcil, de la mateixa manera que es pot convertir entre altres unitats com metres i quilòmetres, o Celsius i Fahrenheit:

360° = 2 π rad


= rad


1 rad = °

Podeu escriure el valor dels radians com a múltiple de π o com un número decimal únic. Podeu emplenar aquesta taula de mides d'angle equivalents en graus i radians?

graus060180
radians0232π

Distància recorreguda

Es pot pensar en els radians com la “distància recorreguda” al llarg de la circumferència d’un cercle d’unitat. Això és especialment útil quan es treballa amb objectes que es mouen per un camí circular.

Per exemple, l' Estació Espacial Internacional orbita la Terra una vegada cada 1,5  hores. Això significa que la seva velocitat de gir és radians per hora.

En un cercle unitari , la velocitat de gir és la mateixa que la velocitat real , ja que la longitud de la circumferència és la mateixa que una rotació completa en radians (ambdues són 2π ).

El radi de l’òrbita ISS és de 6800  km, la qual cosa significa que ha de ser la velocitat real de l’ISS = 28483 km per hora.

${round(p*1.5,1)}h

Podeu veure que, en aquest exemple, els radians són una unitat molt més còmoda que els graus? Un cop coneguda la velocitat de gir, només hem de multiplicar pel radi per obtenir la velocitat real.

Aquí hi ha un altre exemple: el cotxe té rodes de radi 0,25  m. Si conduïu a una velocitat de 20  m / s, les rodes del vostre cotxe giraran a radians per segon (o 802π=13 rotacions per segon).

Trigonometria

Per a la majoria de problemes de geometria simples, graus i radians són completament intercanviables, podeu triar quina preferiu o bé una pregunta us podria dir a quina unitat heu de respondre. Tanmateix, un cop estudieu trigonometria o càlcul més avançat, resulta que els radians són molt més convenients que els graus.

La majoria de les calculadores tenen un botó especial per canviar entre graus i radians. Les funcions trigonomètriques com sinus cosinus i tangent prenen angles com a entrada, i les seves funcions inverses arcsinus, arccos i arctan mostren angles com a sortida. La configuració actual de la calculadora determina quines unitats s’utilitzen per a aquests angles.

Proveu d'utilitzar aquesta calculadora per calcular que

sin (30°) = cos (1°) =
sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

L’ús de radians té un avantatge especialment interessant quan s’utilitza la funció sinus. Si θ és un angle molt petit (inferior a 20° o 0,3 rad), aleshores sinθθ . Per exemple,

pecat ( ${x} ) ${sin(x)} ...

Això s’anomena aproximació d’angle petit, i pot simplificar molt algunes equacions que contenen funcions trigonomètriques. En el futur n'aprendreu molt més.