Glossari

Seleccioneu una de les paraules clau de l’esquerra ...

Cercles i PiIntroducció

Temps de lectura: ~35 min

Des de que existeixen els humans, hem mirat al cel i hem intentat explicar la vida a la Terra utilitzant el moviment de les estrelles, els planetes i la lluna.

Els astrònoms grecs antics van ser els primers a descobrir que tots els objectes celestials es mouen per camins regulars, anomenats òrbites . Creien que aquestes òrbites són sempre circulars. Al cap i a la fi, els cercles són les “més perfectes” de totes les formes: simètrics en totes les direccions i, per tant, una elecció adequada per a l’ordre subjacent del nostre univers.

La Terra és al centre de l’ univers ptolemaic .

Cada punt d'un cercle té la mateixa distància del centre. Això significa que es poden dibuixar amb una brúixola :

Hi ha tres mesures importants relacionades amb cercles que heu de conèixer:

  • El el radi és la distància del centre d’un cercle a la seva vora exterior.
  • El el diàmetre és la distància entre dos punts oposats en un cercle. Passa pel seu centre i la seva longitud és el radi.
  • El la circumferència (o perímetre) és la distància al voltant d’un cercle.

Una propietat important dels cercles és que tots els cercles són semblants . Es pot demostrar simplement observant que tots els cercles poden transformar-se els uns en els altres mitjançant translacions i homotècies:

Potser recordes que, per a polígons semblants, la relació entre els costats corresponents és sempre constant. Alguna cosa similar funciona per cercles: la relació entre la circumferència i el diàmetre és igual per a tots els cercles . Sempre és 3.14159… - un misteriós número anomenat Pi , que sovint s'escriu amb la lletra grega π per a "p". Pi té infinits nombres decimals que es mantenen per sempre sense cap patró específic:

Aquí hi ha una roda de diàmetre 1. A mesura que “desenrotlleu” la circumferència, podeu veure que la seva longitud és exactament :

01234π

Per a un cercle amb diàmetre d , la circumferència és C=π×d . De la mateixa manera, per a un cercle amb radi r , la circumferència és

C= .

Els cercles són perfectament simètrics i no tenen cap "punt feble" com les cantonades d'un polígon. Aquesta és una de les raons per les quals es poden trobar a tot arreu a la natura:

Flors

Planetes

Arbres

Fruita

Bombolles de sabó

I hi ha tants altres exemples: des de l’arc de pluja fins a les ondulacions d’aigua. Es pot pensar en alguna cosa més?

També resulta que un cercle és la forma amb l’àrea més gran per a una circumferència determinada. Per exemple, si teniu una corda de 100  m de longitud, podeu utilitzar-la per envoltar l'espai més gran si formeu un cercle (en comptes d'altres formes com un rectangle o un triangle).

A la natura, objectes com les gotes d'aigua o les bombolles d'aire poden estalviar energia convertint-se en circulars o esfèrics i reduint la seva superfície.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Circumferència = 100 , àrea = ${area}

L’Àrea d’un Cercle

Però, com calculem realment l’àrea d’un cercle? Provem la mateixa tècnica que vam utilitzar per trobar l’àrea dels quadrilàters: tallem la forma en diverses parts diferents, i després reorganitzem-les en una forma diferent de la qual ja en coneixem l’àrea (per exemple, un rectangle o un triangle).

L’única diferència és que, com que els cercles són corbats, hem d’utilitzar algunes aproximacions:

rπr

Aquí podeu veure un cercle dividit en ${toWord(n1)} falques Desplaceu el botó lliscant per alinear les falques en una fila.

Si augmentem el nombre de falques a ${n1} , aquesta forma comença a semblar-se cada cop més a un .

L’alçada del rectangle és igual al del cercle. L'amplada del rectangle és igual a la del cercle. (Observeu com la meitat de les falques es troben cap avall i la meitat d’elles cap amunt.)

Per tant, l’àrea total del rectangle és aproximadament A=πr2 .

r2πr

Aquí podeu veure un cercle dividit en ${toWord(n)} anells. Com abans, podeu moure el control lliscant a “desactivar” els anells.

Si augmentem el nombre d’anells a ${n2} , aquesta forma comença a semblar-se cada vegada més a un .

L’alçada del triangle és igual al del cercle. La base del triangle és igual a del cercle. Per tant, l’àrea total del triangle és aproximadament

A=12base×height=πr2 .

Si poguéssim utilitzar infinits anells o falques, les aproximacions anteriors serien perfectes, i ambdues ens donen la mateixa fórmula per a l’àrea d’un cercle:

A=πr2 .

Càlcul de Pi

Com heu vist més amunt, π=3.1415926 no és un nombre enter simple i els seus dígits decimals es mantenen per sempre sense cap patró de repetició. Els nombres amb aquesta propietat s’anomenen números irracionals, i vol dir que π no es pot expressar com a fracció simple ab.

També vol dir que mai no podem anotar tots els dígits de Pi; al cap i a la fi, n’hi ha infinits. Els matemàtics grecs i xinesos antics van calcular els primers quatre dígits decimals de Pi aproximant els cercles utilitzant polígons regulars. Observeu com, a mesura que afegiu més costats, el polígon comença a semblar com un cercle:

El 1665, Isaac Newton va aconseguir calcular 15 dígits. Avui, podem utilitzar ordinadors potents per calcular el valor de Pi amb una precisió molt més alta.

El registre actual és de 31,4 bilions de dígits. Un llibre imprès que contingués tots els dígits tindria aproximadament 400 km de gruix: és l'alçada a la qual l' Estació Espacial Internacional orbita la Terra.

Per descomptat, no cal recordar molts dígits de Pi. De fet, la fracció 227=3.142 és una gran aproximació.

Un dels mètodes per calcular Pi és utilitzar infinites seqüències de nombres. Aquí hi ha un exemple que va ser descobert per Gottfried Wilhelm Leibniz el 1676:

π=4143+4547+494+

A mesura que calculem cada cop més termes d’aquesta sèrie, seguint sempre el mateix patró, el resultat s’acostarà més i més a Pi.

Molts matemàtics creuen que Pi té una propietat encara més curiosa: que és un nombre normal . Això vol dir que els dígits del 0 al 9 apareixen completament a l’atzar, com si la natura hagués rodat un dau de 10 cares infinitament moltes vegades, per determinar el valor de Pi.

Aquí podeu veure els primers 100 dígits de Pi. Desplaceu-vos sobre algunes de les cel·les per veure com es distribueixen els dígits.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Si Pi és normal, vol dir que podeu pensar en qualsevol cadena de dígits i apareixerà en algun lloc dels seus dígits. Aquí podeu cercar el primer milió de dígits de Pi: contenen el vostre aniversari?

Un milió de dígits de Pi

Search for a string of digits:
3.

Fins i tot podríem convertir un llibre sencer, com Harry Potter, en una cadena de dígits molt llarga (a = 01, b = 02, etc.). Si Pi és normal, aquesta cadena apareixerà en algun lloc dels seus dígits, però es necessitaran milions d’anys per calcular els dígits suficients per trobar-la.

Pi és fàcil d’entendre, però té una importància fonamental en ciències i matemàtiques. Aquesta podria ser una raó per la qual Pi s'ha popularitzat inusualment en la nostra cultura (almenys, en comparació amb altres temes de matemàtiques):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Fins i tot hi ha un dia de pi cada any, que o bé cau el 14 de març, perquè π3.14 , o el 22 de juliol, perquè π227 .